有关微分中值定理的一个推广

叶 专， 温志红， 倪 健

(江苏师范大学 数学与统计学院， 徐州221116)

1 引 言

微分中值定理主要由拉格朗日中值定理、罗尔中值定理以及柯西中值定理三部分组成， 是数学领域中重要的研究内容之一， 在初等数学和高等数学中有着广泛的应用.许多学者对微分中值定理进行了不同方向诸多推广[1-5]，最近王艳萍老师将拉格朗日中值定理结论中的“减法”进行推广， 通过加以新的特殊限制条件， 得到了新的中值定理的“加法”表现形式[4]：

若函数f(x)满足如下条件： (i) 在[m，M]上连续，(ii) 在(m，M)内可导，(iii)f(0)=0，则必定存在一点ξ∈(m，M)，使得

f(a)+f(b)=f′(ξ)(a+b)，

其中m=min(0，a，b)，M=max(0，a，b)，m

2 主要结果

受到如上定理的启发，能不能对微分中值定理也加以新的限制条件从而得到新的微分中值定理，本文对此进行了深入研究并由此得到了微分中值定理的高次幂推广，主要结论如下：

定理若函数f(x)满足如下三个条件：(i)f(x)在[a，b]上连续，(ii)f(x)在(a，b)内可导，(iii)f(0)=0，0∈(a，b)，则对任意的正偶数k，在(a，b)内必定存在一点ξ，使得

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

证注意到条件(iii)，易得

根据经典的拉格朗日中值定理可得

f(a)-f(0)=f′(ξ1)a，ξ1∈(a，b)，
f(b)-f(0)=f′(ξ2)a，ξ2∈(a，b).

于是

由定比分点模型和导函数的介值性可知，在(a，b)内必定存在一点ξ，使得

f′k(ξ1)λ+f′k(ξ2)(1-λ)=f′k(ξ)，

从而有

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

本定理得证.

下面给一个例子来验证结论的正确性.事实上，比如函数f(x)=ex-1满足：在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，并且f(0)=0，0∈(a，b).记

则ξ∈(a，b)，并且有

fk(a)+fk(b)=f′k(ξ)(ak+bk).

不难验证如上等式成立，从而只需要验证ξ∈(a，b).事实上，由经典的拉格朗日中值定理知

于是有ξ=η∈(a，b).

3 应 用

本节给出两个有关上述定理的直接应用.

例1证明对任意的正偶数k，有

证注意到f(x)=x2满足：f(x)在[-1，2]上连续，在(-1，2)内可导，并且f(0)=0，0∈(-1，2).故……