基于自主体验的教学设计

【摘要】在教学中教师通过问题串的设计，让学生亲历从简单到复杂、从具体到抽象、从特殊到一般的探索过程，经历概括、归纳、尝试、猜想、验证等过程，使其进行充分的思考和自主探究.学生在探究结论的过程中能够掌握研究问题的一般方法，积累解决数学问题的经验，提升自主探究能力，发展直观想象、数学抽象等素养.

【关键词】函数的零点;零点存在性定理;自主体验

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学教学要不断探索新的教学方式，创新教学实践，不仅要重视如何教，还要重视如何学，教师要深入挖掘数学学科的育人价值，以发展数学学科核心素养为导向，将努力激发学生学习数学的兴趣和引导学生会学、乐学，贯穿于教学活动的全过程.”

数学课堂不应只是教师传授知识的场所，它更应该成为学生积累学习经验、学习新知识、提高数学学习力的场所.学生是学习的主体，教师做教学设计时应该关注：创设何种教学情境能激发学生的学习热情，提出何种问题能促进学生深度思考，发布何种教学任务能驱动学生自主探索，搭建什么平台给学生提供更多帮助……基于这样的认识，本节课程教师提出三个层层递进的问题引起学生的注意，让学生思考解决问题该使用何种策略，从而将焦点引到如何用函数的思想来考虑方程问题，即以形助数.探讨零点存在定理的条件时借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即以数解形，使学生一步步地在探究过程中真正领悟数形结合的重要价值.

1 创设情境，激发自主探究欲望

教师以往在讲授函数的零点时，教学流程都是：先针对某个特殊的一元二次方程，让学生求出它的根，观察对应二次函数图像，再去找根和图像与x轴交点横坐标之间的关系，最后再研究一般的一元二次方程.这样的教学过程中，教师关注的是“教”知识，学生的学习任务只是简单的观察与归纳，并未真正让学生参与到探究新问题的解决策略和一般方法中，学生的自主性受到了忽视.因此笔者在设计本课时，希望能够通过设置问题引领学生思考解决问题更普遍的方法，引导学生将方程问题函数化、函数图像的特征代数化，帮助学生从动态变化的数据中去理解方程和函数.

基于此考虑，教师设置了以下问题串，问题1：方程2018x2-8x-1=0有实数根吗？你有几种判断方法？问题2：方程2x-4=0有实数根吗？你有几种判断方法？问题3：方程log2x+2x-3=0有实数根吗？

对于问题1，学生的一般方法是，计算判别式Δ 的值，根据判别式判断方程有无实根.这里教师应再追问有没有其他方法？引导学生从函数的角度思考，记f（x）=2018x2-8x-1，根据函数f（x）图像特征，判断其图像与x 轴是否有交点，从而确定是否有实数根.在“如何想到”问题1的解决方法的追问上，笔者试图挖掘学生对此问题的思维过程： 直接解方程有难度，需要借助Δ来进行判断，但是Δ的数据较大，不易计算.因此从函数角度入手，根据函数图像得出与y轴交点的坐标为-1，与x轴有两个交点，所以方程有两个实数根.利用函数思想解决方程问题，不仅为学生探究方程問题提供了更普遍的方法，也为今后研究不等式等内容奠定基础.此问题串的设计，目的就是让学生在利用原有的方法解题遇到困难时，能够尝试新方法.在尝试的过程中教师引导学生外显其思维过程，从而将焦点引到如何用函数的思想来考虑问题，让学生在解决问题的过程中，重新梳理了思维过程，本节课的主题也因此明晰起来.

2 巧设问题，层层追问，搭建自主探究平台

对于问题3，学生无法再应用前面的经验解题，教师进一步追问： 要判断函数是否有零点，必须利用其图像吗？此问题一出，学生陷入了思考.思考后有同学提出可以利用列表描点连线的方法来判断.

师：你认为描点连线后，这条曲线和x轴一定有交点吗？为什么？图像为什么一定会穿过x轴？如何用数学语言描述？

生：因为函数值由负值变化到正值，所以函数图像一定会穿过x轴.

师：观察在区间（a，b）有零点的函数，你发现它们有什么共同点？

生：端点一上一下，端点函数值异号.

师：有无零点看端点.函数在区间（1，3）上端点值异号一定有零点.

问题3 的提出主要有这样两个目的：一是为了辨析概念.对于一般的方程是否可以用“函数的零点”的概念解决？既是对此概念应用范围的思考，也是检验概念的“合理性”.二是为了引入“零点存在性定理”，点明学习这个定理的必要性.针对问题3，当纸笔难以精确描绘图像而只能描点作图时，学生势必要思考有没有方法是可以直接通过解析式来判断零点的呢？引导学生在描点作图的过程中直观感受函数图像与x轴有交点的条件，为探究零点存在性定理的条件积累直观经验.

高中阶段的数学并没有给出函数连续的概念，因此我们只能通过图像直观——“图像不间断”讨论零点存在性定理.从认知过程看，学生对此定理的建构还必须经历一个从“形”到“数”的转变过程.“直观感受”是理性认识的基础，“代数表示”才是本质，如何从“图形直观”想到“代数表示”以及如何通过数学抽象将感性认识上升到理性认识，是本节课的重点也是难点.笔者也做了一些尝试，设计了问题3，对于不容易得到图像的函数，在描点作图的过程中，分析为何图像一定会穿过x轴，当存在两个函数值一正一负时，教师引导学生回忆“函数单调性”和“函数奇偶性”的知识，并思考如何用数学语言刻画我们找到的图像特征，也就是此“图像特征”的“代数表示”，再通过教师进一步地追问以及举反例，零点存在定理条件的雏形就出现了.正如华罗庚先生所言：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事非.”在本节课开始，我们借助图像的几何直观来阐明数量间的某种关系（即以形助数），探讨零点存在定理的条件时借助于数的精确性来阐明形的某些属性（即以数解形），带领学生在一步步的探究过程中感悟数形结合的便利，真正领悟数形结合的重要价值.

3 运用技术巧设学生活动，积累经验

活动一：教师利用教育信息技术软件做出一些函数的图像，让学生观察思考：是不是只要图形连续就有零点呢？同时引导学生通过观察函数图像举出一些反例，并将其代数表述进行不断的修正，从而得出结论.

发现数学规律的前提是有丰富的样例做支撑，教师借助GGB强大快捷的作图功能（可以不囿于以往学习过的函数图像，随意选取），让学生有机会在较短的时间内积累足够多的图像.在对图像的左右端点满足的条件有一定认识的基础上，形成直观经验，验证前面通过描点作图得到的比较粗糙的结论，再将研究视角聚焦于图像的其他特征上，通过一些特殊的反例一步步地理清函数零点存在的充分条件，从而保证学习和研究的深入.

活动二：某地从0时到12时的温度变化如图所示.请绘制出尽可能多的不同曲线将其补充成完整的函数图像，并思考问题4～6.

在探究定理条件的过程中，我们仍然遵循从简单到复杂、从直观到抽象、从特殊到一般的研究顺序.但是由于所学函数模型比较少，学生头脑中的函数图像是非常有限的，通过构造温度变化图，一方面可以锻炼学生的创造能力，让学生绘制出的各种各样的图像，提供了足够的样例供分析，为接下来分析定理的条件和结论奠定了基础;另一方面也能让学生深刻感受数学知识与生活的联系，依据生活经验绘制图像，再用数学的眼光看世界，用数学的语言表达世界.

问题4：函数在区间（0，3）上是否存在零点？能否确定函数有几个零点？你还能画出其他零点、个数的情形吗？

生：当定理条件存在时，函数在开区间内一定有零点，但有几个零点不能确定.

问题5：判断函数f（x）=log2x+x-3在区间（1，3）上的零点个数.这里零点个数为什么能确定是一个？结合图像，说出你的发现.

生：该函数图像开口向上，函数单调.根据定理条件再加上函數单调，可以判断函数零点个数.

问题6：函数f（x）=x3-6x在区间（-1，3）上有没有零点？

师生共同分析：根据图像，可知函数有两个零点，但是端点值不异号，并不符合定理条件？

师生总结：零点存在性定理的条件是非常充分的，定理条件满足就一定有零点.但反之不成立，也就是说即使有些函数不能满足定理中的所有条件，依然可能有零点.

数学学习的完整过程是：观察现象→归纳猜想→验证猜想→应用拓展.对于函数零点存在性定理而言，定理的理解与应用当然是非常重要的，但更为重要的是定理的条件是怎么被发现的.正如南宋诗人陆游所言：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行.”我们以绘制图像为抓手，观察大量的图像，从中发现规律，找到共同点，猜测零点存在的条件，再进一步的分析中修正我们的结论，这样习得的知识才是有“根基”的，同时这样的探究式学习方式才能真正地提高学生的数学学习能力，提升学生的数学思维和数学素养.

新课标提倡教师要注重培养学生从数学的角度发现问题和提出问题的能力﹑分析和解决问题的能力.通过提供归纳的样本，培养学生发现问题的能力;通过鼓励学生自己提出猜想，培养学生提出问题的能力;在尝试和选择解决问题的具体方法时，引导学生自主动手、动脑，经历知识的发生、发展和形成过程，提升学生自主探究和自我学习的能力;运用技术的强大作图功能巧设学生活动，给学生提供足够多的样例，积累足够多的经验，奠定学生解决问题的能力.

【参考文献】

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[2]陈久贵.函数与方程零点“牵手”魂——“函数与方程”教学实录与反思[J].中学数学月刊，2012（04）：4-7.

[3]毕巧艳.基于手持技术的教学设计：简单的线性规划问题[J].数学之友，2017（01）：68-71.