八元数矩阵的行列式及其性质

【摘要】在赋范的空间中，只有四种可以除的代数，分别是八元数、复数、实数和四元数，八元数关于乘法的计算中，并非结合也非交换，所以很难定义八元数矩阵，使八元数具有良好的运算性质同样也是很困难，在以往对八元数的矩阵的研究中，李丽和李兴民根据数学与物理上的需求，曾提出八元数自共轭矩阵的行列式应该是一个实数，通过对几个八元数乘积的结合方式和次序问题，第一次给出了八元数行列式的定义，但是与四元数、复数和实数的运算形式相比较，所提出的八元数行列式的定义中，所包含的运算性质较少，本次研究给出了八元数行列式一种新的定义形式，尽可能地使其所包含的运算性质增多，使八元数矩阵行列式得到证明.在小学数学的教学过程中，教师要合理地利用八元数中的方法和结构设计自己的教学内容.

【关键词】八元数;八元数矩阵;行列式;运算;性质

【基金项目】贵州省科技计划项目“基于八元数上矩阵行列式的性质研究”（合同编号：黔科合LH字【2017】7076号）

在八元数、四元数、复数和实数这四种可除性代数中，如果Rn规定乘法运算，使任意的X∈Rn;Y∈Rn，并且‖XY‖∈Rn=‖X‖‖Y‖，n∈{1，2，4，8}，在n的这四个实数中，虽然满足结合律但是不能满足乘法交换律，八元数既不满足结合律也不满足乘法交换律.由于实数和复数的行列式理论和矩阵式理论在数学领域中应用很广，因此随着四元数的诞生，四元数行列式理论和矩阵式理论就一直有人在研究{16，17，18}，但是在四元数的乘法运算中的不交换性，行列式的定义和理论就一直没有统一的标准.本次研究的主要目的就是要尝试建立起八元数矩阵的行列式概念和基本理论.小学的数学教师要多为学生创造适合学生全面发展的学习环境，参照八元数的思想内容，为学生设计多元化的学习任务.

在建立这一基本概念的过程中，首先需要考虑的是八元数矩阵的运算性质，定义了八元数矩阵式的第一，二，三种初等的变换：设A∈On×n，λ∈O，On×n中的以上的三种初等变换形式分别如下所示;

一 把A的第J行的左倍加到第i行，然后让第J列中的右 λ 倍加到第Ⅰ列中，其中{i≠J}，这样交换运算方法又称为是消法变换.

二 用λ-（λ-≠0）左乘A的第i行，然后用 λ 右乘A第J列，这种变换方法又称为倍法变换.

三 互换A的第j、i两行，再互换第J、I 两列，这种变换方法又称换法变换.先记P（i，J i）为单位阵i的第J列右 λ 倍加到第i列所得的矩阵，把所得到的这种矩阵称为消法矩阵.

P{ i （λ）}为单位阵 λ 的第I列右 λ （λ≠0）倍后所得的矩阵，称为倍法矩阵.

P（i，J）为变换单位阵I的i，J两列后所得的矩阵，称为换法矩阵或置换矩阵.

P（i，J），P{i （λ）}，P{i，J}统称为初等矩阵.所有初等矩阵均是可逆的.且

P（i，J λ）-1 = P（i，J-λ），P{i（λ）}-1 =P{i（1/λ）}，P（i，J）-1 =P（j，i），

并证明了：对A∈On×n实行第一，二，三种初等变换分别相当于

（ⅰ）P（i，j λ）* AP（i，j λ），

（ⅱ）P{i（ λ）}*AP {i（λ）}，

（ⅲ）P（i，j）*AP（i，J）.

命题蕴涵了这些类型的矩阵的乘法满足结合性.我们特别对八元数自共轭矩阵进行了重点讨论，证明了：若A∈SCn （O），

则对任意的X=（X1，X2 ，X3…Xn）T∈On×1，其中（x*，A，x）肯定是属于实数，这在一定程度上推广了实数、复数、四元数的矩阵理论.由于八元数关于乘法非交换和非结合，如何给出八元数行列式的定义并使其具备良好的性质，是非常困难的.

一般在定义域F上，n阶矩阵行列式是定义域F上的一个数，这个数是N个项的和，其中每项是不同行、不同列上的n个元素的乘积，并且加上适当的符号加以表示.由于八元数不满足乘法的交换律和结合律，那么每项中的这n个元素应该怎样相乘计算，又按照什么顺序进行排列相乘，每一项怎么进行结合、计算出来的数据的每一项的符号如何确定，这一系列的问题借助谢邦杰教授和陈龙玄教授等提出的四元数矩阵的行列式工作的研究，对在相乘运算职工八元数的不结合不交换做出规定，规定这n个八元数相乘过程中的结合方式.在这样的规定下，结合方式就会有很多选择.同样地，不同的概念和定义自然会产生不同的行列式理论.

定义（2.3.1），设a∈O，在八元数a的前提下，如果存在b∈O，那么可以使ab=ba=1，这样就可以把八元数b称为八元数a的倒数或八元数a的逆元，把这种方式记作为b=n～，即aa-1 = a-1a=1.

八元数中，a存在倒数的充要条件是a≠0，并且n的倒数a-1是唯一的，由此证明：当a-1存在倒数时，那么一定有a≠0这一条件的成立，同样地，用反证法证明的过程，先假设在n=0的情况下，n对任意b都成立，且（b∈O），从而得出ab=ba=0存在的可能性，由以上证明可见a-1是不存在的这一条件与已知条件相互矛盾，所以必要性的条件存在，这一问题得到证明.

在充分性条件下，设n≠0，就会有ab=ba=1的存在，根据一开始的定义，那么就可以得出a存在倒數，然后证明a的倒数存在的唯—性，设a和另一个倒数h′，则有ah=ha=1.

由以上两步证明可以得出：ah′-ah=a（h′-h）=0，

因为a存在倒数，所以a≠0.从而可以得出h′-h=0，即有h=h′.

由此可以得出a的倒数存在唯一性.

小学的数学知识和现实生活的各个方面都有联系，所以小学的数学教学要用巧妙的方法引导学生参加社会实践活动，让学生在实际生活中练习所学到的数学知识，锻炼学生的实际应用能力，使学生得到全面发展.

经过反复试验、探讨，我们找到了较理想的八元数行列式的定义，在此定义之下，我们得到了八元数行列式的一些基本性质，证明了八元数自共轭矩阵的行列式必为实数.在整个数学的发展史上，解方程组理论和矩阵理论、行列式理论有很大的联系.但是大家都很熟悉的理论一般都是在实数的基础上建立的，矩阵元素理论基础是复数，所以当矩阵的元素是四元数时，一般统一的行列式理论就不再适用.从整个数学的研究过程来看，很多人都在研究的过程中曾尝试给八元数行列式规定不同的定义，并且研究与八元数相关的性质，但是一直没有人把线性方程组Ax=b和八元数行列式的理论有效地结合在一起.主要的原因是因为八元数乘法方式并不是像实数的乘法运算中的结合算法，所以，用一般的数学方法和结论不能解决八元数线性方程组，例如方程Ax+by=c（其中系数都为八元数），求该方程的解时，方程两边如果同乘常数m，就只能得到m（Ax）+m（by）=mc，并不能得到（mA）x+（mb）y=mc.从这个例子可以看出，八元数的行列式理论与八元数线性方程组不能以实数为基础进行计算，它是一个独立的理论系统.但是换一个思维模式想，如果在计算八元数矩阵时不使用行列式理论，那么八元数行列式中的求逆问题就可以得到解决了，有关八元数线性方程组的一系列问题也可以得到解决.这一问题我国数学家早已对此类问题有过研究.

本次研究利用八元数的矩阵给出简单的论证方式.通过论证结果可以得出，通过用八元数的矩阵表示，把解决八元数中线性方程组的问题，通过转化，变成8n得实线性方程组，进而对其进行求解，就等于把n阶的八元数矩阵求逆问题转化为8n阶实矩阵求逆的问题.因为八元数的运算存在特殊情况，所以在对四元数线性方程组进行求解的问题上，可以转化为实矩阵求逆问题，同样的四元数矩阵的求逆问题也可以通过这种转化方式得以解决.

因为八元数在乘法运算中，具有不结合性和不可交换性，所以在对八元数的研究领域中，八元数的研究工作在一定程度上受到了很大的影响.但是到了20世纪90年代之后，计算技术控、控制理论技术的成熟和物理技术的进步，对八元数的研究进度也得到了一定程度的提升，在如今的数学学术界开始被重视起来.在最近几年的研究中，很多的数学专家和知名学者对八元数矩阵的行列式性质进行了一系列探讨和研究，并且取得了很大的研究成果.就像我国著名的数学家何杰华，他用两种方法对八元数上的行列式下了定义，得到了关于八元数的性质，并且找出了一些有关八元数三阶行列式的计算机计算方法，在解决八元数二阶线性方程组的问题上也同样适用.

结 语

在对八元数矩阵行列式的研究中，以上的讨论和说明都相对肤浅.在自己所给出的八元数行列式的定义之下，很多熟悉运用的基本计算方法和公式在八元数的概念下都不再适用，并且原先所具备的行列式的性质也不能利用，所以如何更好地给出八元数行列式定义，使该定义具有很高的严谨性和系统性，并且具有比较完备的适用性质，是以后数学领域研究的重点，还需要不断努力.但是在小学数学教学中，要寻找更多的教学方法，为学生创造多元化、智能化的学习环境，让学生能通过多个渠道学习数学，开发学生的智力.

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