基于拓扑优化理论的桥梁结构找型

陆一帆，杨锦铃，洪壮，陈震，陈素芳

（东南大学成贤学院，江苏 南京210088）

0 引言

连续体结构的拓扑优化指基于相应的外力以及限制条件下， 寻找到拥有最优传力路径的结构布局。 根据结构构件的强度、刚度和稳定性、频率、尺寸和允许离散集等各种约束条件以及结构的类型、形式和工作条件，构建出相应的数学模型、目标函数、约束条件等，通过优化设计理论和方法对优化模型进行求解,即进行结构分析、优化设计,以获得最佳的静力或动力等性态特征。 桥梁结构属于空间稀疏分布的结构， 特别适合于拓扑优化技术找到结构。

1 拓扑优化数学模型

变密度法是工程领域中普遍应用的连续体拓扑优化方法之一。 该方法将每个单元的相对密度当做设计变量， 其常见的插值模型包括Hashinshtrikman 模型、 固体各向同性惩罚微结构模型(SIMP）和材料属性的有理近似模型等。

SIMP 材料插值数学模型表达式如式（1）所示。

在基于SIMP 材料插值模型的变密度法中，通常以结构响应量最小化或最大化为目标，设定体积比约束。 站在静力优化的层面上，将结构合规最小（或刚度最大化、 应变能量最小） 作为优化目标函数，将结构体积比约束作为优化约束函数。 刚性优化的数学模型如式（2）所示：

式中：C 为柔顺度值，K、U、F 分别表示总刚度阵、位移列阵、荷载列阵，V0和V 分别表示初结构和优化后结构体积，f 是体积比。ρmin是拓扑变量的下限，用于避免有限元分析的奇异性，通长取ρmin=10-3。

在拓扑优化的求解中，通常要求结构对单位密度变量影响的灵敏度值，其灵敏度如式（3）所示：