熵权-集对分析法在大武地下水水质评价中的应用

朱恒华，刘治政，贾 超，袁 涵，李 双

(1.山东省地质调查院，山东 济南 250013；2.山东大学 土建与水利学院，山东 济南 250061；3.山东大学 海洋研究院，山东 青岛 266237)

对区域进行有效合理的地下水水质评价，可以及时掌握研究区的地下水水质现状[1]，为制定地下水开采方案、地下水污染防治措施等提供依据。目前针对地下水水质进行评价的方法众多，如综合指数法[2]、内梅罗指数法[3，4]、层次分析法[5]、灰色聚类法[6，7]、人工神经网络[8]及随机森林法[9]等。这些方法在进行水质评价时都各有不足，如综合指数法不能全面评判具有模糊性的地下水系统；内梅罗指数法过分突出极值的作用，评价中可能人为夸大或缩小一些评价因子的作用；人工神经网络仍存在学习数据大、收敛速度低、已陷入局部极小值等缺点；随机森林存在模型训练及预测较慢等问题；许多学者就具体研究背景对以上各评价方法进行了相应改正，并取得了一定成果。集对分析法[10]是一种能较好处理模糊非线性关系的定量分析方法，鉴于地下水是一个多组分的复杂系统，各评价指标实测值与水质等级间具有模糊的非线性关系，该方法被许多学者研究改进并应用于地下水水质评价中[11-15]，如孟宪萌[16]等人引入熵值理论确定水质评价指标的权重，提出基于熵权的集对分析模型，并评价了邯郸市某化工区地下水水质质量；陈宇、束龙仓[1]采用五元联系数对济宁市漏斗承压水进行了水质评价，对多元联系度的集对分析法进行了探索研究。鉴于集对分析法在处理不确定性系统时具有计算简便、信息利用率高、受主观因素影响小及易于其他方法相结合等优点[17]，本文借助集对分析中联系度工具对大武地区评价水体各试样的确定性和不确定性做定量研究，在综合联系度确定中运用信息熵对各指标权重进行计算，最后采用置信度判别准则对评价水体做出全面、客观的评价，使研究区水质评价结果更贴近真实情况。

1 水质评价的熵权-集对分析模型

1.1 水质评价的集对分析法

集对分析法[18-19]是由赵克勤先生于1989年首次提出的一种基于联系度定量刻画确定-不确定系统中两个相对集关系的系统分析方法。其核心是将相对集之间的关系划分为“同一”和“对立”，不确定性关系划分为“差异”；通过对相对集之间的同、异、反关系引入联系度对其进行数学定量描述，将相对集之间确定性和不确定性的关系转换为定量的数学计算。

对有一定联系的事件A和事件B进行集对分析时，组成集对H(A,B)，将A看做待评价集合，B看做评价标准，H(B，A)则反之。对一个有N项评价指标的集合A，若其中有S个指标实测值优于标准，F个未测或无法比较，P个指标实测值劣与标准，则该采样点联系度可表示如下：

μA-B=a+bi+cj；a+b+c=1

(1)

上式(1)可称为3元联系数的集对分析法，针对具体问题分析，将式(1)中的bi进一步拓展为bi=b1i1+b2i2+…+ bk-2ik-2，可以得到K元联系度的集对分析法：

(2)

由于地下水水质等级划分的水质因子界限值是确定的，而研究区的水质因子实测值与区域水质等级关系是不确定的，从而构成确定-不确定系统，可以利用集对分析法进行地下水进行水质评价[20]，因而将地下水水质实测值A与地下水水质评价标准中的水质分级B构成集对，

根据我国地下水质量标准，采用5元联系数的集对分析法可使评价结果与地下水水质类别一一对应，因此采用5元联系数的集对分析法作为大武水源地水质评价分析的基本模型，即式(3)：

μAi-B=a+b1i1+b2i2+b3i3+cj；a+b1+b2+b3+c=1

(3)

式中：Ai表示研究区第i个地下水实测监测站点；B=[Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ]是地下水标准等级；b1、b2、b3分别称为异1、异2、异3，在水质评价中分别对应Ⅱ、Ш、Ⅳ类水，i1、i2、i3为对应差异标识符。

由式(3)进行区域水质等级做总体估计，同时，考虑到水质监测因子的具体含量对水质级别的影响具有差异性，进一步明确不同指标具体含量对水质等级的影响，对分级标准做二次同、异、反的集对分析，由于水质评价指标中效益型(越大越好型)指标和成本型(越小越好型)指标可通过数学变换相互转换，因此采用成本型指标的联系度计算公式：

(4)

式中：AitAi，t表示研究区第i个地下水监测站点的第t个监测指标；S1、S2、S3、S4、S5分别为地下水质量标准中不同评价指标的标准限值；X为评价水体各评价指标实测值。

由以上两次集对分析结果，最终由熵权-集对分析模型做最后水质等级评价。

1.2 熵权法确定评价指标权重

熵是信息论中信息无序度的一种度量，与事件携带的信息量成负相关，事件携带信息量越大，熵就越小，既系统越无序，此时该事件对决策的作用越明显，基于信息熵确定权重的方法即为熵权法；熵权法[21-22]是一种客观赋权法，是对各项指标观测值提供的信息多少来确定指标权重，地下水系统是一个多组分的复杂系统，不同指标对地下水水质的影响权重不同，针对水质评价中不同指标的相对重要性不同，采用熵权法进行不同指标权重系数的主要计算步骤如下：

1.2.1 构建评判指标矩阵

设待评判类别有m种，每类评价指标有n个，其评判指标矩阵记为R:

(5)

1.2.2 评判指标矩阵归一化处理

(6)

(7)

其中正向指标(值越大越优型)采用式(6)，反之，采用式(7)

1.2.3 评价指标熵计算

各评价指标的熵由信息熵计算公式给出：

(8)

1.2.4 评价指标权重计算

对第j个评价指标熵权计算：

(9)

1.3 水质评价的熵权-集对分析模型

基于以下考虑：①由式(4)～式(9)反映评价指标具体含量对水质评价等级的影响；②由式(3)控制，使水质评价等级不至于因为某项水质评价指标所占权重过大，而导致最终评价等级与实际情况偏离。构建熵权-集对分析模型如下：首先以式(3)初步计算得到评价水体第i个样本的联系度μi；其次根据式(4)进一步集对分析，计算第i个样本的第j项指标联系度μij，并根据式(5)-(9)计算第k项指标的权重wj，最后构造出水质分析的熵权-集对分析模型：

(10)

其中⊗为本文引入符号，表示矩阵点乘，为相应矩阵对应数值的乘积。

1.4 基于置信度的熵权-集对分析模型的水质评价

则认为评价对象xt属于Vk0类。

基于此，采用置信度评判准则代替最大隶属度准则对熵权-集对分析模型的计算结果进行水质评判，认为水质受污染程度越轻则水质越“强”。置信度的取值一般为[0.5 1]，取λ=0.65作为评价的置信度。

2 实例研究

大武水源地位于山东省淄博市临淄区，是我国北方罕见的特大型岩溶-裂隙地下水水源地[3]，区内包括大武、南仇及辛店3个富水段，地势南高北低，地下岩溶发育良好，地下水主要由南部山区降雨补给及西南部裸露灰岩补给区侧渗补给，由南向北流动，遇北部阻水岩层阻挡而在区内蓄水[23-24]。由于区内化工企业较多，分布较广，区内地下水持续超采，已引发大武水源地区内地下水污染，对其进行污染评价以供相关污染治理研究具有重要意义[25]。大武水源地区位图见图1所示。

图1 大武水源地区位置示意图

2.1 数据来源及集对构建

研究数据均来源于2017年10-11月淄博市大武水源地地下水采样点的检测结果，以地下水三类水标准筛选出12个超标率较高的水质因子作为评价因子，并在研究区范围内筛选29个至少一项检测因子超标的检测站点作为分析站点(图2)，站点的位置布设较为合理，其评价结果能能充分反映研究区的地下水水质情况。各站点评价因子实测值见表1所示。

表1 研究区29个地下水监测站点水质因子实测值

图2 大武29个水质检测站点分布图

地下水水质类别评判标准依据《地下水环境质量标准》(2017)，以界限值作为不同水质类别的判别依据，其标准界限值如表2所示。

表2 地下水水质评价标准表

以U表示大武地区各水质监测站点的水质属性集合，即站点的水质评价指标的实测值；以S表示水质评价等级标准中各类别的水质属性集合，即各水质类别的水质指标界限值。可构建29个水质实测监测站点与水质评价标准构成集对H(U,S)。

2.2 熵权法计算指标权重

根据表1数据，由式(6)及式(7)进行归一化处理，可得到水质监测站点的数据标准值矩阵X，限于矩阵较长，仅列出站点1～10的标准化矩阵：

根据标准化后的水质矩阵及式(8)～(9)计算得到12项评价指标信息熵及权重，结果见表3。

表3 各评价指标的信息熵及权重

即权重矩阵为

2.3 基于熵权的集对分析法的综合联系度计算

将水质数据以矩阵形式采用MATLAB进行计算，易得到评价水体的集对联系度。其中，由表1、表2及式(3)可计算得到29个站点水质评价的初步分析联系度；由式(4)可计算得到29各站点各指标的分级联系度；由式(10)及指标权重矩阵可计算得到各监测站点的综合联系度。

以监测站点1为例，其综合联系度计算如下：

初步联系度

根据式(3)可得到监测站点1的初步联系度矩阵：

分级联系度矩阵计算

由式(4)得到

3)基于熵权的集对分析法的综合联系度计算

由式(10)及指标权重矩阵可得：

根据以上步骤，可计算得到其余水质监测站点的综合联系度，其部分监测站点综合联系度如下：

2.4 评价站点水质等级确定

按照测点1地下水水质等级的评价过程，由其余28个测点地下水水质的综合联系度，并依据水质等级评价方法，最终确定各测点地下水质的质量等级(表4)。采用置信度准则和最大隶属度准则的评价结果对比如表4所示。

表4 地下水评价结果对比

2.5 评价结果分析

(2)由图3、图4可见，两种评价结果均为西侧区域地下水水质较劣，以隶属度评价准则评判，大武区域以Ⅰ类水分布区域最广，在大武东侧、南侧及北侧均有分布，而Ⅲ类、Ⅳ类及Ⅴ类水主要集中在大武西北侧，分布面积相对Ⅰ类水分布区域较小，水质较劣区域分布在候皋-西夏一带(站点8～12)；以置信度准则评判，Ⅲ类、Ⅳ类及Ⅴ类水集中在大武西侧，影响面积比隶属度准则评判结果要广，仍以候皋-西夏一带(站点8～12)水质较差，从评价结果上，大武区域地下水水质整体上为中等偏下。

图3 隶属度准则评判分类 图4 置信度准则评判分类

3 结语

(1)熵权法可以有效削弱指标含量异常值的影响，根据熵权法计算了评价指标的权重，权重计算结果表明，大武区域TDS、I、Mn及Al属于高权重指标，在地下水治理中应予以重视；

(2)将置信度准则引入水质评价的熵权-集对分析法中对水质判别可以有效避免水质评价等级不清，分级结果不合理。能较大程度避免采用传统最大隶属度准则进行水质判别过程中造成水质评价结果“欠评价”和“过评价”。

(3)依据最新颁布的《地下水质量标准》(GB/T 14848-2017)，以置信度为水质判别准则的熵权-集对分析法对大武地下水质量进行综合计算，得到该区域水质状况的评价结果。评价结果表明，该区地下水水质等级基本水质为中等偏下，区域水质以侯皋-西夏一带较差，应引起地下水环境保护部门的重视。