高振荡积分的分段Hermite求积逼近

缪思怡 王一涵 刘长迎

（南京信息工程大学数学与统计学院 江苏·南京 210044）

0 引言

本文主要研究高频振荡积分的有效数值方法：

高振荡积分的数值研究相对较新，近年来引起学者的高度关注。早在1982年文献[2]中便提出了求解高振荡积分的新的Levin方法，此后关于求解高振荡积分的一系列数值研究结果被提出。文献中基于配置法和高斯求积公式的思想，提出了高精度的Levin方法。基于渐近展开的思想文献[3]提出了Filon型方法，对于大频率高振荡问题Filon型方法求解效果越好。但是对于频率较低的问题，求解效果并不能令人满意。

本文采用分段 Hermite插值逼近来研究高振荡积分（1.1），主要安排如下：第二节中提出了经典的复化Simpson公式并给出其先验误差估计。第三节中构造了频率拟合的复化Simpson公式并给出其先验误差估计。第四节中数值算例验证了本文的结论。

1 经典的复化Simpson公式

表1：C-S公式求解高振荡积分问题的收敛阶

表2：M-S公式求解高振荡积分问题的收敛阶

2 修正的复化Simpson公式

定理成立。

注：由定理2的结论可以得到，M-S公式具有四阶收敛精度并且计算步长不依赖于振荡频率。这意味着当振荡频率很大时，采用大步长求解即能达到预期的精度，从而大大的减小了计算量。

3 数值实验

通常情况下高振荡积分（1.1）并不能精确积分。为此，我们取步长下8价的Gauss求积公式的数值解作为参考解本文考虑高振荡积分

图1：在不同频率下的计算效率