函数典型例题与解题策略

李祥

由数轴上的点与实数的对应关系到正、反比例函数，由一次方程（组）、不等式（组）到一次函数，由一元二次方程到二次函数等，我们不难发现，函数是贯穿初中数学的一条主线，具有承上启下的作用。函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象。

一、函数的概念与性质

例1 已知一次函数y=（3a-2）x+（1-b），求字母a、b的取值范围，使得：

（1）y随x的增大而增大;

（2）函数图像与y轴的交点在x轴的下方;

（3）函数图像过第一、二、四象限。

【思路点拨】对于y=kx+c（k≠0）的图像，当k>0时，y随x的增大而增大;当c<0时，函数图像与y轴的交点在x轴的下方;当k<0，c>0时，函数图像过第一、二、四象限。

解：（1）由一次函数y=kx+c（k≠0）的性质可知：当k>0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2>0，∴a>[23]，且b可取任何实数。

（2）函数图像与y轴的交点为（0，1-b）。

∵交点在x轴的下方，

∴[3a-2≠0，1-b<0，]即[a≠23，b>1。]

（3）函数图像过第一、二、四象限，则必须满足[3a-2<0，1-b>0，]得[a<23，b<1。]

【总结升华】下面是y=kx（k≠0），y=kx+b（k≠0）的图像的特点和性质示意图。如图1，当k>0时，y随x的增大而增大;当k>0，b>0时，图像过第一、二、三象限;当k>0，b=0时，是正比例函数;当k>0，b<0时，图像过第一、三、四象限。当y=x时，图像过第一、三象限，且与x轴的夹角为45°。由于常数k、b不同，可得到不同的函数，k决定直线的倾斜程度，b决定直线与y轴交点的位置，由k定向，由b定点。同样，图2是k<0的各种情况，请同学们自己尝试指出它们的特点和性质。

二、函数的图像及性质

例2 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过A（3，18）和B（-2，8）两点。

（1）求一次函数的表达式;

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=[mx]（m≠0）的图像只有一个交点，求交点坐标。

【思路点拨】（1）用待定系数法求一次函数的表达式;（2）联立一次函数表达式和反比例函数表达式，根据题意得到Δ=0，解方程即可得到结论。

解：（1）把（3，18），（-2，8）代入一次函数y=kx+b（k≠0），得

[3k+b=18，-2k+b=8，]解得[k=2，b=12，]

∴一次函數的表达式为y=2x+12。

（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数y=[mx]（m≠0）的图像只有一个交点，∴[y=2x+12，y=mx]只有一组解，

所以2x2+12x-m=0有两个相等的实数根，

∴Δ=122-4×2×（-m）=0，

∴m=-18。

把m=-18代入2x2+12x-m=0求得该方程的解为x=-3，经检验符合题意。

把x=-3代入y=……