基于人工神经网络的偏微分方程求解方法*

刘文慧，石琳，郭勇，袁冬芳*

(1.内蒙古科技大学 信息工程学院，内蒙古 包头 014010；2.内蒙古科技大学 理学院，内蒙古 包头 014010)

微分方程常用的数值方法有Runge-Kutta方法、线性多步方法、预测校正方法、有限元、有限差分和有限体积等[1，2].传统的数值方法计算存储量和计算时间严重制约了高维问题的求解.近年来，人工神经网络在图像识别技术，语音识别和文本分析得到巨大的应用[3-5].在电力系统[6]方面、化学工程[7]和环境工程等[8]领域引入神经网络方法来解决各自领域未能解决的任务.经过证明，多层神经网络可以逼近任何非线性函数，因此利用这个良好的性质对微分方程的求解进行研究.

1997年LAGARIS等[9]开始用人工神经网络对常微分方程研究，通过算例看出求解的高精度和泛化性.JIANYUA用径向基神经网络来求解椭圆型偏微分方程[10].后来，相关研究人员利用小波神经网络研究非线性函数一阶导数的逼近[11].LEE S T[12]基于小波神经网络，利用蝴蝶优化算法求解二维椭圆偏微分方程，最后从算例说明其算法的高精度和高效率性.

1 神经网络结构

神经网络由最初的单层感知器发展到现在的多层神经网络结构.多层结构的神经网络具有更大容量，可逼近更大更复杂模型.神经网络的基本结构是由神经元构成，如图1，神经元有输入信号和输出信号.两者信号之间通过神经元内部决定，神经元的数学模型有Sigmoid函数，Tanh函数，Relu函数等.不同的场景应用的激活函数不同.

图1 单个神经元结构……