关于一致超图直积的循环指数

范益政，田梦宇

(安徽大学 数学科学学院, 安徽 合肥 230601)

文献[1-2]独立地引入了张量的特征值.文献[3]引入一致超图的邻接张量表示, 并推广了简单图上的若干谱结论.

定义1

设

G

为

n

个点

v

,

v

,…,

v

上的

m

-一致超图, 其邻接张量定义为

m

阶

n

维张量(

G

)=(

a

…), 其中

根据非负张量的Perron-Frobenius定理, 如果为不可约或弱不可约非负张量, 则它的谱半径

ρ

()是的特征值, 并且对应唯一的正特征向量(在相差一个常数倍意义下), 且有

(1)

在文献[9]中, 作者定义了一般张量的谱对称性, 并利用张量的广义迹给出了循环指数的显式表示.

定义2

设为张量,

l

为正整数.称为谱

l

-对称的, 如果

(2)

满足式(2)的最大正整数

l

称为的循环指数, 记为

c

().一致超图

G

称为是谱

l

-对称的, 如果其邻接张量(

G

)是谱

l

-对称的;

G

的循环指数定义为其邻接张量(

G

)的循环指数, 记为

c

(

G

). 文献[3]提出研究

m

-一致超图的谱

m

-对称性. 文献[10]应用张量的广义迹给出

m

阶张量的谱

m

-对称的刻画. 文献[11]提出研究

m

-一致超图的对称谱问题 (即谱2-对称问题). 文献[12]完全刻画了超图的对称谱问题. 文献[13]刻画了

m

-一致超图的对称

H

-谱问题. 论文主要研究超图直积的谱对称性, 证明

G

×

H

是谱[

c

(

G

),

c

(

H

)]-对称的, 从而[

c

(

G

),

c

(

H

)]|

c

(

G

×

H

), 其中[

a

,

b

]记正整数

a

,

b

的最小公倍数.

1 预备知识

设=(

a

…)为

m

阶

n

维张量. 若的所有元素

a

…在其指标的任意置换下仍保持不变, 则称为对称张量; 若的所有元素

a

…都非负, 则称为非负张量. 定义的关联有向图

D

()如下: 其点集为{1,2,…,

n

},弧集为{(

i

,

i

),…,(

i

,

i

)|

a

…≠0}.

D

()可能包含环和多重弧. 张量称为是弱不可约的, 如果

D

()是强连通的.

(

x

-1)=∑,…,∈[]

a

…

x

…

x

,

i

∈[

n

].定义

m

阶

n

维单位张量为=(

i

…), 其中……