均值代换 魅力无穷

在形如x+y+z=a（a≠0）中，我们设用x=a3+t1，y=a3+t2，z=a3+t3， 其中t1+t2+t3=0，进行代换，这种代换通常称为均值代换.当几个变量的和已知，证明一个关于这几个变量的对称不等式或求解代数式的最值等有关问题时，用均值代换法可以把分散的条件集中起来，把已知和结论联系起来，巧用“均值代换”解题可起到事半功倍的效果.本文举例予以说明.

1 證明不等式问题

例1 （第25届国际数学奥林匹克试题）已知x，y，z≥0， 且x+y+z=1， 求证：0≤xy+yz+zx-2xyz≤727.

证明 不妨设x≥y≥z， 则x+y≥23，z≤13， 可令x+y=23+t，z=13-t0≤t≤13，

则xy+yz+zx-2xyz=zx+y+xy1-2z≤zx+y+x+y221-2z

=13-t23+t+1423+t213+2t =727-t24+t32=727-t2212-t≤727.

又xy+yz+zx-2xyz=yz+zx+xy1-2z≥0.

综上，0≤xy+yz+zx-2xyz≤727.

评注 由于题中x，y，z具有轮换对称性，不妨假设x≥y≥z，避免了讨论，给本题的证明带来了一定的方便.这里之所以令x+y=23+t，z=13-t0≤t≤13，是因为代数式xy+yz+zx-2xyz通过基本不等式放缩变形，可将式中的xy转化为x+y的和的形式.

例2 已知正数a、b、c 满足a+b+c=1， 求证：a+5+b+5+c+5≤43.

证明 设a+5+b+5+c+5=m，a+5=13m+t1，b+5=13m+t2，

c+5=13m+t3，其中t1+t2+t3=0， 则

a+5+b+5+c+5=13m+t12+13m+t22+13m+t32，整理得，16=3×19m2+2×13mt1+t2+t3+t12+t22+t32=13m2+t12+t22+t32≥13m2，

所以m2≤48， 即m≤43.故a+5+b+5+c+5≤43.

评注 本题也可模仿例1，设a=13+t1，b=13+t2，c=13+t3，其中t1+t2+t3=0进行求证.这里着眼于结论，先通过设值m=a+5+b+5+c+5，再用a+5=13m+t1，b+5=13m+t2，c+5=13m+t3，进行均值代换，得出关于m的一个不等式，问题则迎刃而解.

2 证明等式问题

例3 若a+b+c=0，a3+b3+c3=0. 求证：a2021+b2021+c2021=0.

证明 因为a+b=-c，设a=-c2+t，b=-c2-t， 代入a3+b3+c3=0，得-c2+t3+-c2-t3+c3=0，即3cc24-t2=0， 所以c=0或t=±c2.

①若c=0，则a=-b， 有a2021+b2021+c2021=0.

②若t=±c2， 即a=0，b=-c或a=-c，b=0， 都有a2021+b2021+c2021=0.

综上， a2021+b2021+c2021=0.

评注 本题条件中两个等式a+b+c=0，a3+b3+c3=0，含有三个变量，是无法求出a，b，c的值的，于是视c为常数，设a=-c2+t，b=-c2-t，用均值代换.其证法新颖、独特，让人耳目一新.3 求最值问题

例4 （第7届美国数学奥林匹克试题）已知a，b，c，d，e是满足a+b+c+d+e=8，

a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试求e的最大值和最小值.

解 因为a+b+c+d+e=8，所以a+b+c+d=8-e，设a=8-e4+t1，b=8-e4+t2，c=8-e4+t3，d=8-e4+t4， 且t1+t2+t3+t4=0.

于是a2+b2+c2+d2=8-e4+t12+8-e4+t22+8-e4+t32+8-e4+t42

=48-e42+8-e2（t1+t2+t3+t4）+（t12+t22+t32+t42） =48-e42+（t12+t22+t32+t42）≥8-e24.当且仅当t1=t2=t3=t4=0时，取等号.

又由a2+b2+c2+d2+e2=16得：a2+b2+c2+d2=16-e2，

所以16-e2≥8-e24， 即e5e-16≤0，所以0≤e≤165.

当a=b=c=d=65时，e取最大值165;

当a=b=c=d=2时，e取最小值0.

评注 由于本题求的是e的最大值和最小值，因而e与a，b，c，d的“地位”是不同的，于是将两个条件等式中的e移项至等号的右侧，余下a，b，c，d具有轮换对称性，从而联想用均值代换法求解.其解法独辟蹊径，充分彰显了“均值代换”的神奇魅力！……