巧妙嵌入“黄金” 成就试题“精彩”

王勇 杜晓霞

近期研究全国各地高考模拟试题，发现一些有关“黄金”的数学题目，其中客观题设计得小巧玲珑、韵味十足;主观题命制得大气洒脱、气势磅礴，令人拍案叫绝！此类试题是考查学生的迁移能力、探究能力及核心素养的极好素材，具有很好的区分和选拔功能.现归纳整理出来，供参考.

1 黄金分割点

例1 （2020 ·武汉市调考题）设点P是线段MN上一点，NP>MP，若NP2=MP·MN，则称点P是线段MN的黄金分割点.如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，BD>AD，若点D是线段AB的黄金分割点，给出下列说法：

①AC=BD;②S2△CBD=S△ADC·S△ABC;

③sinB=5-12;④tanA=2.

其中正确的有（）.

A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①②③④

解析 若点D是线段AB的黄金分割点，则有BD2=AD·AB，BDAB=ADBD=5-12.对于①，由题可知Rt△ACD∽Rt△ABC，可得AC2=AD·AB，又BD2=AD·AB，所以AC=BD，①正确.

对于②，因为BD2=AD·AB，所以S2△CBD=12·CD·BD2=14CD2·BD2=14CD2·AD·AB=12·CD·AD·12·CD·AB=S△ADC·S△ABC，②正确.

对于③，由①知AC=BD，所以sinB=ACAB=BDAB=5-12，③正确.

对于④， 由①知AC=BD，所以cosA=ADAC=ADBD=5-12， sinA=1-cos2A=1-5-122=5-12，所以tanA=sinAcosA=5+12，④错误.故选C.

点评 本题紧扣“黄金分割点”的定义得到比例式，结合相似三角形、三角形的面积公式、解直角三角形及同角三角函数的基本关系即可得解.

例2 （2020 ·襄阳市模拟题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分線段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足ACAB=BCAC=5-12.后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点.如图2，在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点， 设AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，则x1x2+y1y2=（）.

A. 5+12 B. 2

C. 5D. 5+1

解析 由题意可知PCBC=BPPC=5-12，BQBC=CQBQ=5-12，

所以BP=5-12PC，PC=5-12BC，CQ=5-12QB，BQ=5-12BC，

则AP=AB+BP=AB+5-12×5-12BC

=AB+3-52（AC-AB）=5-12AB+3-52AC，

同理，AQ=3-52AB+5-12AC，

而AP=x1AB+y1AC，AQ=x2AB+y2AC，

所以x1=5-12，y1=3-52，x2=3-52，y2=5-12，

故x1x2+y1y2=5-13-5+3-55-1=5，故选C.

点评本题以黄金分割数及黄金分割点为载体命制，主要考查平面向量的线性运算，对运算求解能力要求较高.

2 水平黄金点

例3 （2020 ·太原市模拟题）点M在曲线G：y=3lnx上，过M作x轴的垂……