四种常用数学方法求解物理极值问题

安徽

在处理求极值的物理问题时，往往需要一些数学知识，比如二次函数、基本不等式、半角公式、辅助角公式等，根据它们的规律，找到物理量的极值。

1.解题思路

根据物理情境，发现物理规律，从基本问题出发，写出所求物理量的表达式，这是关键一步。然后根据表达式的形式选择所需要的数学知识求得极值。

2.数学知识

3.典例透析

【例1】(二次函数求极值)如图所示，光滑绝缘的正方形水平桌面边长为d=0.48 m，离地高度h=1.25 m。桌面上存在一水平向左的匀强电场(除此之外其余位置均无电场)，电场强度E=1×104N/C。在水平桌面上某一位置P处有一质量m=0.01 kg、电荷量q=1×10-6C的带正电小球以初速度v0=1 m/s向右运动。空气阻力忽略不计，重力加速度g取10 m/s2。求：

(1)小球在桌面上运动时加速度的大小和方向；

(2)P处距右端桌面多远时，小球从开始运动到最终落地的水平距离最大？并求出该最大水平距离。

【解析】(1)对小球受力分析，小球受到重力、支持力和电场力作用，其中重力和支持力平衡，根据牛顿第二定律，有qE=ma

解得a=1.0 m/s2

方向水平向左

设小球到桌面右边的距离为x1，小球离开桌面后做平抛运动的水平距离为x2，则

x总=x1+x2

代入数据得t=0.5 s

水平方向，有

【例2】(基本不等式求极值)如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=0.5 kg的小物块，它与水平台阶表面间的动摩擦因数μ=0.5，且与台阶边缘O点的距离s=5 m。在台阶右侧固定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板，并以O点为原点建立平面直角坐标系。现用F=5 N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板(g取10 m/s2)。……