一道联考题的解法探究与纵、横向拓展

2021-05-30 14:59张海泉
数理化解题研究·高中版 2021年12期
关键词:类比定值定点

摘 要:本文從学生角度出发,解决一个具体双曲线定值问题,探索求解一类定值问题的方法并进行了升华归纳;通过变式拓展过渡到定点问题并归纳其解题思路;横向延伸到椭圆定点定值问题并进行纵向探究,为教师解题和命题形成了一类问题模板.

关键词:定点;定值;变式拓展;类比

中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2021)34-0010-03

收稿日期:2021-09-05

作者简介:张海泉(1976.7-),男,江苏省泰州人,本科,中学高级教师,从事高中数学教学研究.

本文先对2021年泰州三市三区高二数学期末统考一道试题的解法作些探究,再将试题进行纵向、横向推广与延拓,形成一般问题的解题思路,以期达到举一反三、触类旁通的教学效果.

一、试题呈现

题目 已知A,B分别是双曲线C:x2-y24=1的左、右顶点,直线l过右焦点F且与双曲线交于C,D两点,若直线AC与BD交于点P,求证:点P在定直线上.

二、解法探究

解析 设直线CD方程为x=my+5,C(x1,y1),D(x2,y2),联立x=my+5,x2-y24=1, 得(4m2-1)y2-85my+16=0.

其中y1+y2=85m4m2-1,y1y2=164m2-1 .

设lAC:y=y1x1+1(x+1),①

lBD: y=y2x2-1(x-1),②

由①②,得x+1x-1=x1+1y1·y2x2-1=(my1+5+1)y2y1(my2+5-1)=my1y2+(5+1)y2my1y2+(5-1)y1

=my1y2+(5+1)(y1+y2)-(5+1)y1my1y2+(5-1)y1

=16m4m2-1+(5+1)85m4m2-1-(5+1)y116m4m2-1+(5-1)y1=-(5+1)(-4(5-1)m+85m4m2-1+y1)(5-1)(4(5+1)m4m2-1+y1)=-(5+1)(4(5+1)m4m2-1+y1)(5-1)(4(5+1)m4m2-1+y1)=-5+15-1.

再由x+1x-1=55 ,解得x=55.

故点 P 在定直线x=55 上.

三、解后反思

本题是一道圆锥曲线中的定值问题,题目设计入口较宽,学生容易想到联立直线与双曲线方程求出两直线交点,转化为非对称的韦达定理形式求解.因题目设计的直线过焦点,所得交点P恰好在双曲线的准线上.很好地展示了双曲线的一个完美特殊性质.故学生易产生疑问:如果直线不过焦点是否也有类似的性质呢?

拓展1 已知A,B分别是双曲线C:x2-y24=1的左、右顶点,直线l过点N(n,0)且与双曲线交于C,D两点,若直线AC与BD交于点P,问点P是否在某定直线上?

四、猜想探索

仿照上面解法,设直线CD的方程为x=my+

n,C(x1,y1),D(x2,y2),联立4x2-y2=4,x=my+n, 得(4m2-1)y2+8mny-4=0 .

其中 y1+y2=8mn4m2-1,y1y2=4n2-44m2-1.

设lAC:y=y1x1+1(x+1),①

lBD: y=y2x2-1(x-1), ②

由①②,得x-1x+1=y1x2-y1x1y2+y2=y1(my2+n)-y1(my1+n)y2+y2=my1y2+(n-1)y1my1y2+(n+1)(y1+y2)-(n+1)y1=m(4n2-4)4m2-1+(n-1)y1m(4n2-4)4m2-1-(n+1)8mn4m2-1-(n-1)y1 =m(4n2-4)4m2-1+(n-1)y1-4m(4n2-4)4m2-1-(n+1)y1=-n-1n+1.

再由x-1x+1=1-nn+1 ,解得x=1n. 故点 P 在定直线x=1n上.

解到这个结果,细心的同学发现:直线过焦点F(5,0)时,2点P在定直线x=15上,当直线过点N(n,0)时,点P在定直线x=1n上,不由得会猜想这两者是否有倒数关系?

五、归纳模型

基于学生的这种发现,于是试着从一般形式探索:

拓展2 已知A,B分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右顶点,过点N(n,0)的直线l与双曲线交于C,D两点,直线AC与BD交于点P,试探究点P是否在某定直线x=1n上?

分析 设直线CD的方程为x=my+n ,C(x1,y1),D(x2,y2),

联立x=my+n,x2a2-y2b2=1,得(b2m2-a2)y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.

其中y1+y2=-2mnb2b2m2-a2,y1y2=b2(n2-a2)b2m2-a2.

lAC:y=y1x1+a(x+a) ,①

lBD: y=y2x2-a(x-a) ,②

由①②,得x+ax-a=my1y2+(n+a)y2myy2+(n-a)y1 =my1y2+(n+a)(y1+y2)-(n+a)y1myy2+(n-a)y1=mb2(n2-a2)b2(m2-a2)+-(n+a)2mnb2b2m2-a2-(n+a)y1mb2(n2-a2)b2(m2-a2)+(n-a)y1=mb2n2-mb2a2-2mn2b2-2mnab2b2m2-a2-(n+a)y1mb2(n2-a2)b2(m2-a2)+(n-a)y1=-(n+a)((n+a)mb2b2m2-a2+y1)(n-a)((n+a)mb2b2m2-a2+y1)=n+aa-n.

再由x+ax-a=a+na-n ,得x=a2n.

故点P在定直线x=a2n.这个结果既在意料之外、也在情理之中.

六、拓展延伸

为给学生一些更直观的认识,笔者打开geogebra软件演示了旋转CD的过程中点P的变化情况,演示的过程中部分学

生发现:当点P在定直线x=a2n上移动时, MA,MB长度为定值,由kPA=tanα=PMMA,kPB=-tanβ=-PMMB,得出kPAkPB=-PM·MBMA·PM=-a-a2na2n+a=a-na+n 是定值.即kPA与kPB 有着线性关系,这样从教师的命题角度来看,本题可以以点带面扩大试题的教学功能,于是进一步将定点拓展为定值问题.

拓展3 已知A,B分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右顶点,过点N(n,0)的直线l与双曲线交于C,D两点,直线AC与BD交于点P,证明:kPAkPB是定值.

七、纵向探究

继续使用geogebra拖动点P在直线上、下移动时,发现kPAkPB始终是定值,而C,D两点随着点P的移动而移动,那么点N是否会改变?于是进一步把定值问题过渡到定点问题.

拓展4 已知A,B分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1的左、右顶点,点P是x=a2n上一点,直线AP交双曲线于C,PB交双曲线于点D,试探索直线CD是否过定点.

分析 设直线AC方程为y=k1(x+a),BD的方程为y=k2(x+a),C(x1,y1),D(x2,y2),联立y=k1(x+a),x2a2-y2b2=1, 得(b2-a2k21)x2-2a3k21x-a2(a2k21+b2)=0.

由xA·xC=-a2(a2k21+b2)b2-a2k21 ,

得xC=a(a2k21+b2)b2-a2k21 ,yC=k1(xC+a)=2ab2k1b2-a2k21.

所以C(a(a2k21+b2)b2-a2k21,2ab2k1b2-a2k21) .

同理可得D(-a(a2k22+b2)b2-a2k22,-2ab2k2b2-a2k22).设N(n,0).

则KDN=0--2ab2k2b2-a2k22n+a(a2k22+b2)b2-a2k22

=2ab2k2nb2-na2k22+a3k22+ab2,

kNC=2ab2k1b2-a2k21-0a(a2k21+b2)b2-a2k21-n=2ab2k1a3k21+ab2-nb2+na2k21

=2ab2·a-na+nk2a3k22(a-na+n)2+(a-n)b2+na2·(a-na+n)2·k22

=2ab2k2a3k22(a-na+n)+b2(n+a)+na2·a-na+nk

22 =2ab2k2(a+n)a2k22(a-n)(a+n)+b2(n+a)2

=2ab2k2a2k22(a-n)+b2(n+a) =KDN.

所以D,N,C三点共线,即CD直线过定点N(n,0).

八、横向探究

由于椭圆和双曲线有统一定义,因此本题探究过程可以类比到椭圆中.通过本题可以扩展出椭圆中的一般结论.

拓展5 已知A,B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右顶点,过点N(n,0)的直线l与椭圆交于C,D两点,直线AC与BD交于点P.

①过点N(n,0)的直线l与椭圆交于C,D两点,直线AC与BD交于点P,则点P在定直线x=a2n上.

②过点N(n,0)的直线l与椭圆交于C,D两点,直线AC与BD交于点P,则kPAkPB=a-na+n.

③在直线x=a2n任取一点P,PA,PB与椭圆交于C,D两点,则直线CD过定点N(n,0).

给学生一杯水,教师要有一桶水,一桶新鲜活水.讲授一道题,教师不能向学生一样仅仅满足于会解题,还需要考虑如何高效解题,注重通式通法,拓展探究、挖掘试题的内涵和外延,找到试题的源头、研究出一类题的解题规律,形成一种思维上的升华和命题模板,达到放得开,收得拢的自如境界.

参考文献:

[1]殷向东,费存信.圆锥曲线中的定点与定值问题[J].中學数学月刊,2011(12):43.

[责任编辑:李 璟]

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