不可压缩的Brinkman-Forchheimer方程的回溯两重网格法∗

王小娟, 贾宏恩

(太原理工大学 数学学院, 山西 晋中030600 )

0 引言

考虑不可压缩的Brinkman-Forchheimer方程:

其中：Ω是Rn(n=2或3)中有界连通并具有Lipschitz连续的区域, 其边界为∂Ω,u是流体速度,p是压力,ν>0是粘度系数,f是体力, Forchheimer项α|u|r−2u(2 ≤r<∞,α>0)是由Forchheimers定律导出的, 用来描述各种物理情况, 如多孔介质流动、摩擦效应以及某些耗散机制等.

方程(1)具有非线性和单调性. 近年来, 一些学者致力于Brinkman-Forchheimer方程数值分析的研究. 如文献[1]研究了Brinkman-Forchheimer方程的收敛性和连续依赖性; 文献[2]给出了求解这一问题的混合有限元方法,证明了弱解的存在唯一性并进行了误差估计; 文献[3]讨论了混合有限元方法的超收敛性, 也可参考文献[4-7].

文献[8]提出了求解非线性问题的两重网格法, 该方法先在粗网格上求解一个非线性方程作为细网格的迭代初值近似,然后在细网格求解线性问题,与传统的方法相比可以节省大量的计算时间,已被广泛应用于求解其他非线性方程[9−14]. 文献[15]提出求解Navier-Stokes方程的回溯两重网格法.

本文将采用回溯两重网格法求解问题(1). 该方法需要先在粗网上求解非线性方程,再在细网格上求解Stokes问题, 然后在粗网格上线性校正. 最后, 通过数值实验验证算法的有效性及稳定性.

1 符号和准备工作

Wk,p表示Sobolev空间,其中范数和半范为‖·‖k,p和|·|k,p.L2(Ω)上的内积空间定义为:

引进如下的双线性、拟线性和三线性形式:

并且有以下不等式成立[4−7]:

引理1[15]假设Ω的边界满足强Lipschitz条件, 下面三线性形式的不等式成立:

其中：当n=2时,s=∊>0(任意小); 当n=3时,

方程(1)的弱形式: 求(u,p)∈(X,M) 使得

问题(……