一类无穷时区上的时间不一致最优控制问题的均衡控制

耿晓琦, 张志雄

(四川大学数学学院, 成都 610064)

1 引 言

无穷时区上的最优控制在经济学中有广泛应用[1-2].在实际应用中,由于贴现率往往不是常数,此类问题的最优控制则具有时间不一致性.1955年，Strotz较为系统地研究了有限时区上的时间不一致最优控制问题[3], 指出非常值的贴现率是导致最优控制问题具有时间不一致性的原因之一.文献[4-6]提出了时间不一致的Ramesy模型中容许控制成为均衡控制的必要条件.在离散时间框架下,文献[7]构造了一个阶梯函数并证明其为均衡控制.在连续时间框架下,当值函数充分光滑时文献[8]推导了关于值函数的微分方程和与其等价的积分方程,并证明当贴现率为常数时此微分方程即为HJB方程.此外，在一定条件下,该文献也证明了均衡控制的存在性.此外，文献[9]运用微分对策来处理时间不一致的问题,并提供一个具体例子来说明任意初始状态的最优控制在下一时刻不再保持最优.

在本文中，我们研究一类无穷时区上的时间不一致问最优控制问题.当贴现率充分大时,我们通过针状变分的方法推导了容许控制成为均衡控制的充要条件.当贴现函数为指数型时,此结果退化为无穷时区上的Pontryagin最大值原理.最后本文给出了一个应用.

2 预备知识

考虑如下受控方程：

(1)

目标泛函

(2)

其中f:[0,+∞)×Rn×U→Rn,g:[0,+∞)×Rn×U→R,ρ:[0,+∞)×[0,+∞)→R,x0∈Rn,U是Rm的非空子集,u(·)取值于U.对任意(t,x)∈[0,+∞)×Rn,(x(s),u(s))满足方程

(3)

考虑如下容许控制集：

U={u(·):[0,+∞)→

(4)

(5)

|f(t,0,u)|≤K(1+|u|)；

|g(t,x,u)|≤K(1+|x|λ+1+|u|2)；

|f(t,x1,u1)-f(t,x2,u2)|≤

|fx(t,x1,u1)-fx(t,x2,u2)|≤

ϖ(|x1-x2|+|u1-u2|)；

|gx(t,x,u)|≤K(1+|x|λ+|u|2).

注1当条件(A1)满足时,对任意(t,x)∈[0,+∞)×Rn,(x(s),u(s))及u(·)∈U,系统(1)和(3)有唯一解.当λ=1时,该控制问题包含……