关于Toeplitz算子与复合算子在Fock-Sobolev空间上的乘积

秦 杰, 王晓峰

(广州大学数学与信息科学学院, 广州 510006)

(2010 MSC 47B35; 475B32)

1 引 言

在本文中,C表示复平面,dA表示面积测度. Fock空间F2的定义为

其中H(C)为C上的整函数. 对任意的非负整数m, 定义Fock-Sobolev空间F2,m为

(Pf)(z)=

其中

是F2,m的再生核函数.F2,m的一组标准正交基为

若f是C上的可测函数且满足

则稠定义F2,m上以f为符号的Toeplitz算子Tf为

(Tfg)(z)=P(fg)(z),g∈F2,m.

对任意整函数φ和h, 复合算子Cφ定义为

Cφh(z)=h∘φ.

我们定义F2,m上的Toeplitz算子与复合算子的乘积为

TfCφh=P(f·h∘φ)，CφTfh=P(fh)∘φ.

若f是整函数,则TfCφ为加权复合算子. 许多数学家研究了Fock空间上的复合算子与加权复合算子，如Carswell等[2]第一次完全刻画了Fock空间上复合算子的紧性与有界性. Cho 等[3]将其结论推广了Fock-Sobolev空间上,并刻画复合算子的有限线性组合的紧性与有界性. Le[4]和Ueki[5]研究了Fock空间上加权复合算子的有界性和紧性. Tien和Khoi[6]刻画了作用在两个不同的Fock空间上的复合算子的有界性.关于加权Fock空间上的正Toepliz、复合算子及Volterra 积分算子,可参见文献[7-9].

关于两个Toeplitz算子在Fock空间上可交换的问题，Bauer和Lee[10]刻画了以径向函数为符号的Toeplitz算子在Fock空间上的交换性. 随后, Bauer等[11]讨论了以多重调和函数为符号的Toeplitz算子在Fock空间上的交换性.此外，Appuhamy等[12]刻画了以可分离的径向多项式为符号的Toeplitz算子的换位子.

另外，算子乘积的有界性问题也已经被很多数学家讨论过，如Mengestie[13]刻画了Volterra型积分算子与复合算子乘积的有界性和紧性，文献[14]研究了Toeplitz算子的乘积在Bergman空间上的有界性. 然而，Toeplitz乘积在Bergman空间上的有界性问题直至现在仍未解决. 特别地，关于Fock空间上Toeplitz算子和复合算子乘积的有界性及Toeplitz算子与……