有界线性算子及其函数的a-Browder定理

王 宁，曹小红

(陕西师范大学 数学与统计学院，陕西 西安710119)

算子理论是泛函分析的重要组成部分，而算子谱理论又是算子理论的重要组成部分.1909年，Weyl在研究Hilbert空间上自伴算子的谱时，给出了Weyl定理[1].在接下来的研究中，学者们一方面研究一些特殊算子的Weyl定理[2-8]，一方面对Weyl定理进行变形.目前为止，Weyl定理的变形包括Browder定理、a-Weyl定理以及a-Browder定理，Weyl定理及其变形称为Weyl型定理，对Weyl型定理及其相关性质的研究一直是算子谱理论的研究热点[9-16].本文将着手于a-Browder定理的相关问题，探究有界线性算子及其函数满足a-Browder定理的等价条件.

1 预备知识

谱σ (T)={λ∈C:T-λI不是可逆算子}；

上半Fredholm谱σSF+(T)={λ∈C:T-λI不是上半Fredholm算子}；

逼近点谱σa(T)={λ∈C:T-λI不是下有界算子}；

Fredholm谱σe(T)={λ∈C:T-λI不是Fredholm算子}；

Weyl谱σw(T)={λ∈C:T-λI不是Weyl算子}；

Browder谱σb(T)={λ∈C:T-λI不是Browder算子}；

本质逼近点谱σea(T)={λ∈C:T-λI不是上半且i nd(T-λI)≤0的算子}；

Browder逼近点谱σab(T)={λ∈C:T-λI不是上半且升标有限的算子}；

Saphar谱σS(T)={λ∈C:T-λI不是Saphar算子}.

特别地，Goldberg定义了谱集

σG(T)={λ∈C:T-λI值域不闭}[14]；

算子T的Kato谱可以表示为

σK(T)=σS(T)∪σG(T);

不可逆的Browder算子组成的集合记作 σ0(T)=σ(T)σb(T).

预解集为

ρ(T)=Cσ(T);

类似地，其它谱对应的预解集定义为该谱集在复数域中的补集，分别记作

对复平面中的任意集合E，用 isoE表示E中孤立点的全体，intE表示E中内点的全体，accE表示E中聚点的全体， ∂E表示E中边界点的全体.在本文中，D 表示单位闭圆盘，Γ表示单位圆周.

2 有界线性算子的a-Browder定理

下面，我们将借助σ5(T) 来研究算子及其函数的a-Browder定理.

定理1设T∈B(H)，则下列叙述等价：

(1)T满足a-Browder定理；

(2)σ (T)=σ5(T)∪{λ∈isoσa(T):n(T-λI)≤d(T-λI)}∪[ρa(T)∩σ(T)]；

(3)σ(T)=σ5(T)∪isoσa(T)∪[ρa(T)∩σ(T)].

证明(1)⇒(2)任取

于是 μ∈ρa(T)，λ0∈ρa(T)∪isoσa(T).若 λ0∈isoσa(T)， 则n(T-λ0I)＞d(T-λ0I)， 因此T-λ0I为Fredholm算子.由Fredholm算子摄动定理可知， ind(T-λ0I)=ind(T-μI)＞0，这与 ind(T-μI)≤0矛盾.因此 λ0∈ρa(T)，由于 λ0∉[ρa(T)∩σ(T)]， 所以 λ0∉σ(T)， 因此 σ (T)⊆σ5(T)∪{λ∈isoσa(T):n(T-λI)≤d(T-λI)}∪[ρa(T)∩σ(T)].反包含显然.

(2)⇒(3) 显然.

(3)⇒(1) 要证T满足a-Browder定……