基于宽度与期望值的区间值映射的若干性质

张林芬，包玉娥

(内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028043)

区间数及区间值映射是区间分析中的两个重要组成部分.因此，Moore R E等[1-4]对区间数及区间值映射进行了研究，使得区间数及区间值映射成为国内外学者关注的热点问题.

代兵等[5]给出了区间数绝对值的概念及相关的性质，并利用区间数的H-差和区间数绝对值的概念给出了区间值函数的极限概念及相关性质.李娜等[6]用区间数的半序关系给出了区间数集的有界及确界概念，并证明了确界的存在性定理.Luciano S等[7]利用区间数的宽度和期望值讨论了区间值函数的广义可微性(gH-可微性)问题，并得到了一系列有价值的结论.Bao Y E等[8-10]给出了区间值映射的D-可微性和方向可微性的概念及相关性质，并且利用区间数的宽度和期望值给出了一种新的区间数的距离公式及相关性质，证明了其完备性.

上述文献[5-6]及已有的有关区间值映射的可微性方面的研究工作均在区间数的半序关系下涉及到区间数的H-差或gH-差.区间数的序关系及差运算的复杂性，对研究工作带来了一定的难度.从而受文献[7]的启发，在文献[8-10]的基础上，利用区间数的宽度和期望值，给出区间数的一种新的全序关系，并讨论区间数集的有界及确界的存在性问题.同时利用宽度函数和期望值函数讨论区间值映射的极限、连续性及可微性问题.

1 区间数集的有界性

下面利用期望值与宽度给出区间数的一种全序关系，并讨论此全序关系下的区间数集的有界性及确界的存在性问题.

设a为A的任意上界，a0为A的一个上界.若a0≤a，则称a0为A的上确界.记作a0=supA.同样的方法可定义A的下界和下确界b0=infA.

定义4[6]设A为一个非空的区间数集.若A既有上界又有下界，则称A为有界的区间数集.

且易证a0为A的一个上界，b0为A的一个下界.

2 区间值映射的极限与连续性

下面利用期望值函数和宽度函数讨论区间值映射的极限和连续性问题.

所以F(x)在x=x0处若存在极限，则有唯一的极限.

定理3 设:

于是根据实值函数的极限性质，有:

又由性质1得:

于是根据实值函数的极限性质有:

又因为存在δ>0，当0<|x-x0|<δ时,有:

于是根据实值函数极限的两边夹定理，有:

下面讨论区间值映射的EW-连续性问题.

定理6 若区间值映射:

均在x0处EW-连续，则:

(i)F+G在x0处EW-连续；(ii) 若F-HG存在，则F-HG在x0处EW-连续.

所以F+G在x0处EW-连续.

3 区间值映射的可微性

本节利用期望值函数和宽度函数讨论区间值映射的可微性问题.

定理7 设F:M→[R]是区间值映射，M是R中开集，如果F在x0处EW-可导(x0∈M)，则F在x0处EW-连续.

定理8 设F:M→[R]是区间值映射，M是R中开集，如果F在x0处H-可导(x0∈M)，则F在x0处EW-可导.

根据H-差的性质，有:

从而:

(1)

(2)

同理可得:

(3)

(4)

于是由式(1)和式(2)有:

(5)

(6)

同理由式(3)和式(4)可以推出:

(7)

(8)

因此如果F在x0处H-可导，则F在x0处EW-可导.

注1F在x0处EW-可导，但不一定H-可导.

例2 设区间值映射F(x)=[x2,x3+4],x∈(-1,1)，则对x=0∈(-1,1)，有:

所以F在x0处EW-可导，且FEW′(0)=[0,0].

4 结论

在研究区间值优化及区间值微分方程等理论中，区间值映射的极限及微分概念起着重要作用.本文基于区间数的期望值和宽度的全序关系，引进了区间数集的有界及确界原理.在此基础上，借助宽度函数和期望值函数给出了区间值映射的EW-极限、EW-可微等概念，并讨论了相关性质.本文的研究工作避免了对区间数差运算的讨论，这对区间值映射的可微性及其应用问题的研究提供了一种新的思想方法.