一种快速求解程函方程的间断伽辽金方法

王静男，孙章庆，孙建国，崔栋，韩复兴，高正辉

1.吉林大学 地球探测科学与技术学院，长春 130026；2.中国石油勘探开发研究院 油气地球物理研究所，北京 100083

0 引言

在地震勘探中，数值求解程函方程能够用于计算地震走时。程函方程数值求解的一类主要方法是有限差分方法，有限差分方法通过单元区域内节点间的差分近似方程中的微分项来完成求解[1]。传统的有限差分方法面临着波前特征不连续以及数值结果的稳定性等问题，改进的迎风差分格式和对结果进行扫描处理的方法能够很好解决数值不稳定的问题[2--3]。同时，有学者提出ENO (Essentially Non--Oscillatory)格式，用于拓展有限差分方法的精度[4]。为了提高地震走时计算的精度，一类方法是扩展有限差分的差分格式。以快速扫描法为例，一阶形式下的快速扫描法采用Godunov差分来完成求解，二阶或高阶形式则使用多点求解的ENO格式或WENO格式。在边界上，高阶差分形式则需要引入边界外的虚节点来完成数值求解；同时高阶差分形式在单次求解时使用的节点数量相对增多，影响了程函方程的求解效率。

除了构建保证稳定性和算法精度的差分格式外，有限差分方法的另外一个研究重点是算法的计算效率。目前，在这方面发展起来了如下快速算法：快速行进法(Fast Marching Method，FMM)、快速迭代法(Fast Iterative Method, FIM)和快速扫描法(Fast Sweeping Method，FSM)等[5]。这些快速算法的复杂度对比如表1所示[6]。

表1 算法复杂度对比Table 1 Comparison of algorithm complexity

与有限差分类方法不同，近年发展起来了一类有限元方法。这类方法具有可以任意拓展算法计算精度的优势。……