最小二乘估计量优于工具变量估计量的一个充分条件

王义闹

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

考虑随机解释变量问题：

式中，b0,1b为常数，x为随机解释变量，u为随机误差项，x与u线性相关．

我们知道，对(x,u)的容量为n的简单随机样本

有

参数1b的最小二乘（OLS）估计量

不是一致估计量；参数1b的工具变量（IV）估计量

是一致估计量，其中w是x的工具变量[1]．因此，只要样本容量足够大，就一定有：

上述结论也意味着，样本容量不够大时，上式不一定成立．本文进一步给出了样本容量确定时，

成立的一个充分条件，即最小二乘估计量优于工具变量法估计量的一个充分条件．

1 工具变量法估计量与最小二乘估计量的误差分析

对x的任一工具变量w，参数1b的工具变量估计量

式中，

为工具变量w与随机误差项u的样本相关系数，

为工具变量w与随机解释变量x的样本相关系数．再记样本标准差

则由（8）式可见，参数1b的工具变量估计量的绝对误差为：

因此，当我们选取的解释变量的样本观察值越分散，工具变量与随机解释变量的样本相关系数的绝对值越大时，误差越小．

参数1b的最小二乘估计量为：

其中

为随机解释变量x与随机误差项u的样本相关系数，于是最小二乘估计量的绝对误差为：

故有下面引理1．

引理1 当

时，工具变量估计量的绝对误差小于最小二乘估计量的绝对误差，否则，最小二乘估计量更好．

2 工具变量估计量的绝对误差较小的概率

1915年Fisher找到了样本相关系数的精确分布[2]：

在X,Y服从二维正态分布，相关系数的假设下，当样本容量n≥3时，样……