含约束支链的冗余驱动并联机构动力学性能优化

刘晓飞 唐艳华 刘 鑫 李 祺 赵永生

(1.燕山大学并联机器人与机电系统实验室，秦皇岛 066004;2.天津航天机电设备研究所天津市宇航智能装备技术企业重点实验室，天津 300301)

0 引言

相对于串联机构，并联机构具有更高的刚度、承载力和精度[1]，在工业领域得到越来越多的应用。由于存在奇异位形导致有效工作空间较小等原因，使传统并联机构的应用受到限制[2]。冗余驱动并联机构具有可消除奇异位形[3-5]、增大有效工作空间，增加机构的整体刚度与承载力[6]，改善动力学特性[7-8]、消除间隙[9]、优化驱动力分配[10]等优点，因而受到越来越多的关注。

实现并联机构冗余驱动主要有两种方式：①在原有机构上增加冗余驱动支链，或者将原有被动关节替换为主动关节。②在非冗余全驱动并联机构上增加约束支链或关节，以降低原有机构自由度。目前，对增加冗余驱动支链或主动关节的冗余驱动并联机构的相关研究较多[11-20]，而对增加约束支链或关节的研究较少[21-24]。不同的冗余驱动实现方式对并联机构性能的影响不同，对机构进行评价分析、优选出性能良好的构型是冗余驱动并联机构研究的核心问题之一。

并联机构的动力学性能是其重要特性，在结构设计、尺寸优化方面具有重要作用。对传统的并联机构而言，评价其动力学性能的指标主要是条件数与操作度椭球。对冗余驱动并联机构而言，由于速度雅可比矩阵和广义惯性矩阵不再为方阵，使条件数与操作度椭球的评价指标无法直接使用。目前，关于冗余驱动并联机构动力学性能的研究还相对较少，且都是针对具体的结构构型。ZHAO等[8，25]基于矩阵的无穷范数计算冗余驱动机构产生的单位加速度、速度所需最大驱动力，并作为动力学性能指标对机构进行了性能评价。BEDOUSTANI等[26]基于操作动力学对一种弹性绳索驱动的冗余并联机构进行了动力学分析。JIANG等[27]通过计算位置误差映射矩阵的条件数，对平面冗余驱动并联机器人的动态性能进行了分析。LIANG等[28]以机构产生的单位加速度、速度所需最大驱动力为动力学性能指标，对冗余驱动并联机构进行了优化设计。FONTES等[29]以最大输入力矩作为评价指标，对不同冗余驱动情况下的并联机构动力学性能进行了对比，获得主动过约束机构动力学性能优化的条件。

1 机构简介

非独立位姿参数γ与独立位姿参数间的速度映射关系可以表示为

(1)

于是可以构建广义坐标与独立广义坐标间的速度映射关系，即

(2)

其中

式中E5——单位矩阵，E5∈R5×5

构建广义坐标与独立广义坐标间的加速度映射关系，即

(3)

2 动力学建模

2.1 非冗余驱动并联机构动力学建模

在笛卡尔坐标系下，假定机构动平台的广义运动速度(包括线速度与角速度)为υd∈R6×1，连杆AiBi的广义运动速度为υLi∈R6×1，滑块广义运动速度为υHi∈R6×1，这些构件在广义坐标系q下的速度雅可比矩阵分别为Jd∈R6×6、JLi∈R6×6和JHi∈R6×6，可得

(4)

假定机构在广义坐标系下产生无限小的广义位移(包括线位移和角位移)为δq∈R6×1，对应的动平台广义位移为δqd∈R6×1，连杆AiBi的广义位移为δqLi∈R6×1，滑块的广义位移为δqHi∈R6×1，可得

(5)

τi=niτi

(6)

(7)

将式(5)、(6)代入式(7)，可得

(8)

通过参数分离，可以将机构各运动构件在广义坐标q下的广义惯性力分解为

(9)

整理式(8)可得

(10)

(11)

(12)

将并联机构的驱动力按加速度因素、速度因素、重力因素以及负载外力因素分类整理，可得

τN=τNa+τNυ+τNg+τNe

(13)

其中

它们分别表示机构动力学受不同因素影响作用的结果。

2.2 冗余驱动并联机构动力学建模

在笛卡尔坐标系下，假定中间约束分支上下连杆的广义运动速度分别为υzu∈R6×1和υzd∈R6×1，其在广义坐标系q下的速度雅可比矩阵分别为Jzu∈R6×6和Jzd∈R6×6，可得

笔者循诵《中峰集》几过，得到这样一个印象：董玘对不同的文章体裁是区别对待的。也就是说，他还是有一定的文体意识的。比如他的奏疏、书札就写得明白晓畅，因为这是一种应用文体，必须看了让人彻底明白自己的主张。而序、记、赋、志铭则写得相对古奥，因为作为一个理学家，董氏要在这些体裁的文章中寄托自己的儒家理想，故文字不辞以模仿经籍来出之。如《陈情乞恩给假省亲疏》：

(14)

假定与机构在广义坐标系下无限小广义位移相对应的中间约束分支上下连杆的广义位移分别为δqzu∈R6×1和δqzd∈R6×1，可得

(15)

(16)

整理得到

(17)

其中

QN+QZ+F}

(18)

(19)

其中(JHG)+T为矩阵(JHG)T的广义伪逆，式(19)所获得的驱动力解为最小二范数解。

基于式(19)可得到通过增加约束支链的冗余驱动并联机构驱动力受不同因素影响作用的结果，即

τC=τCa+τCυ+τCg+τCe

(20)

τCg=(JHG)+TGT(QN+QZ)

τCe=(JHG)+TGTF

通过对式(13)、(20)中机构驱动力结果的对比可以看出，增加的约束支链对并联机构驱动力分配结果的影响，既包括支链运动约束所带来的影响，也包括支链惯性量的影响。构建动力学性能评价指标，可以更好地对比不同因素的影响。

3 动力学评价

对冗余驱动并联机构的动力学性能进行分析，以及对比非冗余驱动并联机构的性能，需要综合考虑不同机构的动力学模型特征。将机构动力学模型中不同影响因素进行运算分析，提出可以方便直接应用的动力学性能评价指标。

3.1 加速度因素对动力学的影响

(21)

由于动平台在空间中任意单位加速度运动所需的驱动力均可由τNai通过线性组合获得，于是机构所需最大驱动力向量的模可表示为

(i=1,2,…，6)

(22)

其中‖·‖2表示向量在线性空间上的2-范数，[·]i表示矩阵的第i个列向量。

τCamax=max(‖[(JNG)+TGT(MN+MZ)G]i‖2)

(i=1,2,…，5)

(23)

忽略中间约束分支质量，将其视为约束关节，则式(21)转换为

(i=1,2,…，5)

(24)

3.2 速度因素对动力学的影响

(25)

因此，当机构动平台在空间中发生任意方向上的单位匀速移动或转动时，机构驱动关节所需要施加的最大驱动力向量的模为

(i=1,2,…,6)

(26)

(CN+CZ)G)]i‖2)(i=1,2,…，5)

(27)

忽略中间约束分支的质量，则式(27)的形式为

(i=1,2,…，5)

(28)

3.3 重力因素对动力学的影响

(29)

τCg=‖(JNG)+TGT(QN+QZ)‖2

(30)

忽略中间约束分支的质量，则等式(30)的形式为

(31)

3.4 负载外力因素对动力学的影响

(32)

式中Fi——机构动平台所承受的沿笛卡尔坐标系不同坐标轴方向的单位负载外力或外力矩，且Fi∈R6×1

因此，机构动平台承受空间任意方向单位负载外力或外力矩时，机构所需的最大驱动力向量的模为

(33)

τCemax=max(‖[(JNG)+TGT]i‖2)

(i=1,2,…，5)

(34)

将τNemax和τCemax作为机构的动力学评价参数，用来对比分析在不考虑重力时，处于静止状态的一般非冗余驱动并联机构与冗余驱动并联机构支撑负载外力的性能。

可以发现机构外力负载性能指标与中间约束分支惯性量无关，即在关节速度雅可比相同的情况下，增加约束分支和约束关节对机构的外力负载性能影响相同。

4 数值算例

约束分支UPU对机构动力学性能的影响，既包含其对动平台施加的运动约束所带来的影响，也包含中间分支质量的影响。两种机构相同部分采用相关的结构尺寸与惯性参数，机构相关的几何尺寸如表1所示，相关物理参数如表2所示。

表1 并联机构几何尺寸

表2 并联机构相关物理参数

4.1 约束分支对动力学性能的影响

两种机构由加速度因素、速度因素、重力因素以及外力负载因素等影响的动力学性能指标分布与对比分别如图4～7所示。

4.2 约束关节对动力学性能的影响

将约束分支视为无质量分支，可以得到增加约束关节对机构动力学性能的影响。忽略约束分支质量后，两种机构由加速度因素、速度因素、重力因素等影响的动力学性能指标分布与对比如图8～10所示。由前述分析可知，在约束关节速度雅可比相同的情况下，增加冗余约束分支和冗余约束关节对机构的外力负载性能影响相同，故本节不对外力负载性能进行对比。

4.3 约束分支与约束关节对比

对比图4c和图8b、图5c和图9b、图6c和图10b可以发现，通过增加约束关节能够增加机构加速度性能、速度性能与重力性能，而增加冗余约束分支却降低了机构相关性能。进而可以得出，冗余驱动分支的约束提高了机构性能，但分支质量降低了机构相关性能，降低的量与分支质量相关。

5 结束语