巧用数形结合 撬动思维支点

潘新花

数学是一门研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，是研究数与形及其相互关系的一门科学。数形结合思想在数学教学中是一种重要的数学思想，小学生的思维以直观形象思维为主，比较容易理解直观模型，但是又要向抽象思维过渡，数形结合便是沟通学生形象思维和抽象思维的桥梁，它能促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，通过形象思维和抽象思维的巧妙结合，可以优化课堂教学，使复杂问题简单化，使抽象问题具体化。

一、数形结合，理解概念

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反应形式。在小学阶段，学生无论是学习整数还是分数，小数，负数，都离不开几何直观的支持，利用几何直观可以将抽象的概念具体化，直观化，让学生更好地理解数学的概念。

例如，在教学“分数的初步认识”时，分数是比较抽象的数学概念，为了激起学生学习兴趣，可以利用学生已有的生活经验，合理地借助直观图形，将抽象的数学概念转化为直观、易懂的图形概念。教学时，先唤起学生的生活经验，让学生借助实物，苹果，月饼认识“一半”可以用分数1/2来表示，紧接着再利用各种几何图形，如正方形，长方形，圆形，数轴等图形，理解分数1/2的意义，并启发学生思考，为什么正方形、长方形、圆形、数轴这些图形一直在变化，却都还能找到同一个分数1/2？这样借助图形的演变，进一步使学生对分数概念的理解和把握越来越清晰，充实了学生对分数概念本质特征在思维中的建构。

二、数形结合，明晰算理

计算教学是小学数学教学中重要的组成部分，《义务教育数学课程标准（2011）》指出，学生不仅会用笔算、口算等进行正确的计算，还要结合具体的情境理解算理。学生学习数学需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑，借助几何图形，能够帮助学生更加直观地理解算理，让学生自主发现、描述所要研究的问题，亲历知识产生、模型建构的过程，有效帮助学生理解算理，掌握算法。

例如，教学“两位数乘两位数”时，先出示例题“王老师，买了12套图书，每套图书有14本，一共买了多少本？”列式14×12=？这时引导学生用自己喜欢的方法算一算，并在点子图（12行，14列）上把自己的想法表示出来。学生呈现了不同的口算方法，有的把点子图12行平均分成二份，先算14×6=84，再算84×2=168;有的把点子图上的12行平均分成三份，先算14×4=56再算56×3=168;也有的同学把点子图上的12行拆成两部分，第一部分10行，第二部分2行，先计算14×10=140，再算14×2=28，最后140+28=168。学生借助点子图这一直观的工具，在操作、交流、分析、比较中，明白了这些方法都是先分后合，把新的知识转化为旧的知识来解决问题，同时为第二课时研究竖式计算方法做了铺垫，在列竖式时，让学生把每次相乘的结果都在点子图上圈出来，这样通过直观的点子图沟通了算法和算理的关系，帮助学生理解算理，掌握算法。

三、數形结合，拓宽思维

1.以形解数，解题策略多样化

通过数形结合，以形解数，能够帮助学生从多角度，多层次地思考问题，养成多向性思维的好习惯，引导学生变静态思维方式为动态思维。

教学五年级上册”图形中的规律”一课时，教师首先引导学生独立思考，由形思数，尝试体验图形与数、图形与算式之间的关联，再让学生从不同角度观察划分，发现同一个点阵存在着不同的规律。横向纵向观察时，算式6×6=6²;斜向观察时，算式1+2+3+4+5+4+3+2+1;折角观察时，算式1+3+5+7+9。最后比较这些规律，让学生在分析、比较、归纳中发现，从1开始几个连续奇数相加，等于他们个数的平方;从1开始连续自然数相加，加到最大的数，再依次递减，加到自然数1，所得的结果就是最大数的平方。

整个学习过程，学生自主交流，结合图形与算式，发现规律，初次体验“形”能够直观解释“数”的计算，学会利用这一发现进行巧算，从而体验成功的乐趣。

再如，教学五年级上册“平面图形的面积”进行相关知识点巩固，如图

2.借数思形，抽象推理具体化

教学中如果能够找到数量背后的几何图形，借数思形，能够帮助学生更形象直观地发现规律，化繁为简，化抽象为具体。

例如，在计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=？，教师先引导学生借助图形，从简单的1/2+1/4入手，引导学生观察发现，1/2+1/4可可以看成从正方形“1”中减去空白部分的1/4，1/2+1/4=1-1/4;同样继续借助图形计算1/2+1/4+1/8，学生发现可以把剩下的1/4再平均分成两份，每份是1/8，因此，1/2+1/4+1/8，可以看成从正方形“1”中减去1/8;那么同理1/2+1/4+1/8+1/16可以看成从正方形“1”中减去1/16。.以此类推，1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=1--1/128=127/128。

3.数形邂逅，解题思路直观化

学生在数学学习过程中，经常会遇到一些数量关系比较复杂的问题，利用图形进行数学问题的思考，可以把“无形”的解题思路化为“有形”的图形方法，从而拓宽解图思路，找到解决问题的方向。

例如，把一个长方体木条分割成大小相等的5个小正方体后，表面积之和增加了80平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？这道练习题对两个班级的学生进行了测试，其中一个班级的试题中附加了一个条件，要求画出草图，结果发现有画草图的这个班级作答正确率远高于没要求画草图的班级。孩子根据题目中提供的数学信息画出草图后，会发现长方体分割成5个大小一样的小正方体后，表面积增加了8个面，正好是40平方厘米，所以每一个面的面积是5平方厘米，而长方体的表面积未分割前有22个面，因此原来长方体的表面积就是22×5=110平方厘米。可见，画图对于帮助解决较为抽象的数学问题，起到化抽象为具体的作用。

总之，通过数与形的相互转换，以形助数，以数辅形，数形相辅相成，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题，让学生主动经历知识的形成过程，促使学生数学核心素养得到培养，思维能力得到提升。