浅谈数学史在高中数学教学中的作用与应用

刘莉莉

一门科学的历史是那门科学中最宝贵的部分，科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧。数学史是研究数学科学发生发展及其规律的学科，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。数学教材是经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是学习数学史。同时，教材也容易使学生产生误解，以为数学家获得知识很轻松，这严重阻碍了学生创造力的发展。因此，在数学的教与学中存在着这种矛盾：教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识，将知识系统化，然而，系统化的知识却无法让学生理解到知识大都是经过疑问、猜想、论证、检验、完善等，一步一步成熟起来的，这就极大地影响了学生准确理解数学思维方式的形成，这也正是数学史应用的价值和意义。

那么数学史对中学的教学到底有什么样的影响呢？

第一：缓解数学恐惧，增加数学兴趣。如果说谈虎色变，那么对于很多中小学学生来讲，一定是谈数色变。提到数学就是自己的薄弱学科，是学习生涯中的噩梦。作为一门基础学科，其实没有那么可怕，也有人戏说，学数学没有什么用，生活中买菜也用不着，确实，不学数学，我们也可以去买菜，但是学了数学，我们买菜的地方可能就会发生改变。人体中的数学，如在面部：从发际到下颏与眼外眦到下颏、从口裂到下颏与从鼻翼到下颏、面宽度与两眼外眦间距、眼外眦到口裂与口裂和鼻底宽之间等，均是完美的黄金比率;人体躯干部也具有这种关系，如头顶到肚脐，肚脐到脚底，头顶至喉结节，喉结节至肚脐等距离间的比例，同样符合黄金分割。黄金比率的符合，证明了人体是大自然完美与和谐的产物。而这个比值的发现是古希腊哲学、数学家毕达哥拉斯，由于偶然机遇，在试折木棒时，按不同的比例多次比较，发现短段与长段之比为1：1.618=0.618时最美，从而第一次将“数”与“美”联系起来，后来古希腊美学家柏拉图将此比例称为黄金分割。听到这个数字的起源学生们可能就会对所学内容产生兴趣，增加审美意识，同时感觉到数字就在身边，也减少内心的恐惧，而且数学家毕达哥拉斯发现这个数字过程，他们听后一定对数学减少恐慌，原来有数学结论是在无意中发现的。还有很多关于数学概念的歇后语，如果在教学中应用上，不仅可以减少恐惧，增加兴趣，还可以帮助学生对该概念的理解，我们举几个简单的例子：小小的房子——区间;并驾齐驱——平行;大同小异——相似;一模一样——全等......

第二：建立榜样，给自己加油打气。陶哲轩14岁读大学，17岁赴美师从沃尔夫奖获得者埃利亚斯·施泰因，21岁获得博士学位，2006年31岁获得菲尔兹奖，他的成就横跨多个数学领域。华罗庚年幼时中途辍学，做了杂货店的记账员。但他并没有放弃自己的数学研究的爱好。然而祸不单行，正在他发奋自学时，他染上了可怕的伤寒症，医生判定为无药可救。然而，他却奇迹般地活了下来，遗憾的是腿脚不便，变成了残疾。凭着坚持不懈的努力，勤奋自学，于1930年，以《苏家驹之代数五次方程式不能成立的理由》的论文，在中国数学界得到刮目相看。他亲自组织和推广的“优选法”、“统筹法”，使之在社会主义现代化建设中显示出了巨大的威力。国外也有很多值得学习的数学家，比如：牛顿22岁发现二项式定理，23岁创立微积分学。高斯3岁时便能够纠正他父亲的借债账目，9岁用很短的时间计算出了小学老师布置的任务，19岁解决正多边形作图的判定问题，20岁证明代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要的《算术研究》。

杰出数学家的故事对于许多学生来说，有着巨大的激励作用。一是，有些数学家在成长过程中遭遇过挫折，他们在苦中求进的精神可以鼓舞学生，使得学生不轻易放弃，培养学生坚毅的品质。二是，也有著名数学家都犯过今天看来相当可笑的错误，知道大数学家是如何遭遇挫折和犯错误，不仅可以让学生在数学方法上从反面获得全新的体会，而且可以让学生正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的自信。

第三：增强民族自信心，培养爱国主义情怀。作为四大文明古国之一，中国有着悠久的历史和灿烂的文化，为世界文明作出了不朽的贡献。在世界数学史上，中国数学的发展和成就占有非常重要的地位。比如：十进位制记数法是我国古代劳动人民一项非常出色的创造。它比世界上其他一些文明发生较早的地区，如古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法要优越得很多，而且现在被世界普遍使用;圆周率的计算，祖冲之的杰出成就比西方早一千多年;另外，祖冲之还与他的儿子祖暅用巧妙的方法解决了球体体积的计算，这一新的发现也比西方早一千多年;杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，在欧洲，帕斯卡发现这一规律，所以这个表后来又叫做帕斯卡三角，但是帕斯卡的发现比杨辉要迟393年。 丘成桐是公认的当代最具影响力的数学家之一。他的工作深刻变革并极大扩展了偏微分方程在微分几何中的作用，影响遍及拓扑学、代数几何、表示理论、广义相对论等众多数学和物理领域。1981年，32岁的他获得了美国数学会的维布伦奖，这是世界微分几何界的最高奖项之一;1983年，他被授予菲尔兹奖章，这是世界数学界的最高荣誉;1994年，他又荣获了克劳福奖。 丘成桐已囊括菲尔兹奖、沃尔夫奖、克莱福特奖这三个世界顶级大奖，历史上仅有两位数学家囊括这三大奖项，另一位是比利时数学家德利涅。丘成桐得奖还为沃尔夫奖创造了另一佳话：他是继自己的导师陈省身之后，第二位获得沃尔夫数学奖的华人。中国人工智能之父吴文俊在数学上作出许多重大贡献。拓扑学方面，在示性类、示嵌类等领域获得一系列成果，还得到许多著名公式，指出了这些理论和方法的广泛应用。他还在拓扑不变量、代数流形等问题上有创造性工作。1956年吳文俊因在拓扑学中的示性类和示嵌类方面的卓越成就获中国自然科学奖一等奖。2010年5月4日，国际小行星中心先后发布公报通知国际社会，将国际永久编号第7683号小行星命名为“吴文俊星”。数学史和数学家的故事在教学中如果可以有机的渗透进去，无疑会触动民族自信心，自尊心，培养爱国情怀。

既然数学史对教学有这么重要的影响，那教学中我们具体可以如何使之发挥其作用呢？下面我们以具体案例谈一下数学史如何应用在教学中。

一、概念课堂自然引入，枯燥概念添生机。

圆是一个古老的课题，与生活和生产息息相关，课堂上讲授概念其实是很无聊的课，一节课下来感觉就是在炒冷饭，没有生机，死气沉沉。如果把圆的历史加入课堂，一定会收获另外一个课堂。比如，课堂情景导入时，圆的最早概念是古代人从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？提出问题，让学生脑袋运作起来。

导入圆的故事：18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成。6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了，古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲，后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样就比扛着走省劲。大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子：圆的木轮。约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。然而这些都没有给出圆的概念，会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100年。

通过讲这些故事，让学生领会到，数学中定义的得来并不像课本那样系统、简单，其由来，也是经历了很多年，很多人不懈的努力才。

二、数学史事合理选，教学具有针对性。

数系的扩充其实也是一节无聊的概念课，如果把数学故事添加里面也会变得不一样。无理数的出现，数学史上第一次数学危机。古希腊毕氏学派信封“万物皆为数”，但是他们中的一个学员，西帕索斯却发现边长为1的正方形的对角线长不可以用已有的有理数来表示，这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希帕索斯受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。这个故事虽然有点恐慌，其实也在告诉学生数系的扩充并不是一帆风顺的，有些看起来荒诞的东西不一定是不存在的，只不过是跟我们的认知界限有关系，我们看起来感觉很荒谬，随着我们认知的扩充，很多东西就会慢慢的被人们系统化的认识。所以数系扩充以后也存在平方为负数的数，这样学生就会很自然的接受。虚数的概念最初由17世纪笛卡尔提出，从而数系扩充到复数，复数在现代数学的发展起到了至关重要的作用，然而它在刚提出时在科学界引起了很多争议。复数的确很抽象，然而如果没有它，现代的大部分代数、数论和物理学就不会存在。而且我们可能永远不会发展出四元数、八元数等。

适当的选择数学史料，可以增加学生学习的兴趣，同时数学家的探索精神对学生的学习也有积极的榜样作用。

历史名题充分用，教学研究趣味增。

高二数学教学中涉及到数列的递推公式，但是在我们的教材中对数列的递推公式的介绍比较简单，若在介绍“數列的递推公式”内容时补充一些有名、有趣的数列，利用联想与化归的数学思想，来解决数学问题，使学生借助递推思想，提高分析问题解决问题的能力，培养严密的思维习惯，促进个性品质良好发展。

十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后 共有多少对兔子？想：第一个月初，有1对兔子;第二个月初，仍有一对兔子;第三个月初，有2对兔子;第四个月初，有3对兔子;第五个月初，有5对兔子：第六个月初，有8对....把对数顺序排列起來，可得到下面的数列：1，1，2，3，5，8，13，观察数列：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。

这是大名鼎鼎是斐波那契数列，数列的递推式满足如下关系式：

数列的通项公式是数列作为离散型函数的解析式，有了它无疑就抓住了数列的全貌，为我们计算数列的任意项和研究它的整体性质提供了一个关键的抓手.若在讲授数列的新课导入时也使用数学名题，这对初学数列者来说，无疑感到数列好玩，并产生浓厚兴趣.

传说希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。他们研究过1，3，6，10，...由于这些数可以用如图所示的三角形点阵表示，他们将其称为三角形数，你能依次写出后面的数字吗？

这是古老的三角形数列，数列递推关系式满足：

利用累加法可得数列通项公式：

在教学中可以依此延伸探究如果数列满足：可用累乘法，计算数列通项公式。增加课堂探究性，丰富课堂。

数学发展至今，课本内容对于授课者来说就是在炒冷饭，数学逻辑性强，很多同学学着学着可能对这门课失去信心，失去兴趣。若老师在课堂上多用数学史也许可以缓解学生的焦虑，增加学生的兴趣和自信。这是数学史融入教学基本的作用。另外，课堂上数学史的融入还应当更深层次的发挥其价值，促进学生获得思维的发展。冷饭已备好，炒出什么味道，就靠各老师各显神通。