两个保序全变换半群的直积上的自同构

尚传翠，杨秀良

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

1 引言和主要结果叙述

本文的主要结果如下：

其中

2 主要结果的证明

为叙述方便，先做如下准备：

进而

进而

又因为φ是单射，故

进而

进而

又因为φ是单射，故

□

证明由引理1知

由m,n的任意性得

进而

□

证明任取(z1,z2)∈Xm×Xn，则

□

[(f,g)(f′,g′)]φ=(ff′,gg′)φ=(σ-1ff′σ,δ-1gg′δ)=

(σ-1fσσ-1f′σ,δ-1g′δδ-1g′δ)=

(σ-1fσ,δ-1gδ)(σ-1f′σ,δ-1g′δ)=

(f,g)φ(f′,g′)φ.

任取(f,g)φ=(f′,g′)φ，则

(σ-1fσ,δ-1gδ)=(σ-1f′σ,δ-1g′δ),

⟹(f,g)=(f′,g′).

特别地，

故

不妨设x′=σ(x),y′=δ(y).因为φ是双射，则σ∈Sm,δ∈Sn.进而

令(x)σ=s,(y)δ=t,s∈Xm,t∈Xn，则x=(s)σ-1,y=(t)δ-1.进而

⟹(α,β)φ=(σ-1ασ,δ-1βδ).

假设存在i∈Xm，使得(i)σ<(i+2)σ<(i+1)σ，则

假设存在i∈Xm，使得(i)σ>(i+2)σ>(i+1)σ，则

故任取i∈Xm，有

即

同理可得

□