指数有界双参数n阶α次积分C半群的谱映射定理

周裕然，赵华新，周 阳

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

谱的相关理论是算子半群主要研究的内容之一，许多学者研究了谱的相关性质[1-3]。文献[4]研究了双参数C半群的一些结果及其相关性质；文献[5]给出了n阶α次积分C半群的概念、预解集以及次生成元等问题；文献[6]讨论了双参数n阶α次积分C半群及其性质；文献[7]研究了指数有界双连续n阶α次积分C半群的生成定理;文献[8-11]研究了相关半群的谱映射定理。本文在上述研究的基础上，利用指数有界双参数n阶α次积分C半群的点谱、剩余谱、连续谱的定义，讨论了指数有界双参数n阶α次积分C半群的谱映射定理。

1 预备知识

在本文中，X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数；D(A)为线性算子A的定义域，设n∈N，α≥0。

T=0当且仅当存在n≥0使

JnT(t,s)=0，t,s≥0。

定义1[6]设n∈N，α≥0，C∈B(X)是单射，算子族{T(t,s):∀t,s≥0}⊂B(X)。

被称为指数有界双参数n阶α次积分C半群，则以下条件成立:

∀t,s≥0；

(2)存在闭线性算子A=(A1,A2)，满足

∀x∈X,t,s≥0,JnT(t,s)∈D(A),

∀x∈D(A),t,s≥0,

(3)存在M≥0,ω∈R使

‖T(t,s)‖≤‖C-1‖Meω(t+s)，∀t,s≥0。

称A=(A1,A2)是{T(t,s)：∀t,s≥0}⊂B(X)的次生成元，把G(M,ω,C,t,s)记为X内的所有指数有界双参数n阶α次积分C半群。

定义2[6]设A为指数有界双参数n阶α次积分C群的次生成元，则称集合：{aλ+bμ|λn-1μn-1((aλ+bμ)n-T(t,s))-1C∈B(X),a,b∈R,t,s≥0}为指数有界双参数n阶α次积分C半群{T(t,s):∀t,s≥0}的预解集，称集合C/ρc(T(t,s))指数有界双参数n阶α次积分C半群{T(t,s):∀t,s≥0}的谱，记为σc(T(t,s))。

定义3[6]设{T(t,s):∀t,s≥0}是复Banach空间X上的指数有界参数n阶α次积分C半群，分别称集合

σpc(A)={aλ+bμ:((aλ+bμ)n-A)-1C不存在}，

2 主要结果

定理1 设{T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指数有界双参数n阶α次积分C半群。令

x∈X,s,t≥0，λ,u∈R。则

(1)∀x∈X,

(λn-1μn-1((aλ+bμ)n-A))Bλ,μ(s,t)x=

-λn-1μn-1C·eλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x；

(2)∀x∈D(A),

Bλ,μ(s,t)(λn-1μn-1((aλ+bμ)n-A))x=

-λn-1μn-1C·eλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

证明由Bλ,μ(s,t)的定义可知，

Bλ,μ(s,t)∈B(X)对x∈X有

λn-1μn-1·

λn-1μn-1·

U1=U2=U3。

λn-1μn-1(λa+μb)nCBλ,μ(s,t)x。

T(s,t)Cx。

λn-1μn-1C2eλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nCBλ,u(s,t)x+

λn-1μn-1T(s,t)x+λn-1μn-1C2eλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nBλ,u(s,t)x+λn-1μn-1T(s,t)x+

λn-1μn-1Ceλs+μtx。

λn-1μn-1(λa+μb)nBλ,μ(s,t)x+λn-1μn-1T(s,t)x+

λn-1μn-1Ceλs+μtx。

所以λn-1μn-1((λa+μb)n-A)Bλ,μ(s,t)x=

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

∀x∈D(A)有，Bλ,μ(s0,t0)x∈D(A)且

Bλ,μ(s0,t0)λn-1μn-1Ax=

Bλ,μ(s0,t0)λn-1μn-1(λa+μb)nx+

λn-1μn-1Ceλs0+μt0x+λn-1μn-1T(s0,t0)x。

所以有Bλ,μ(s,t)λn-1μn-1((λa+μb)n-A)x=

-λn-1μn-1Ceλs+μtx-λn-1μn-1T(s,t)x。

定理2 设{T(s,t)}s,t≥0是由A次生成的指数有界双参数n阶α次积分C半群，则