具有高阶色散和立方- 五次非线性项的薛定谔方程的精确解

买欣蕾 李 威

(北京化工大学 数理学院， 北京 100029)

引 言

非线性薛定谔方程(NLSE)是一类重要的非线性演化方程，在非线性光学、量子力学、等离子体理论等领域具有广泛的应用，因此研究该类方程的精确解具有重要的理论意义。近年来，人们提出许多求解NLSE精确解的有效方法，如齐次平衡法[1]、tanh函数展开法及其扩展[2]、正弦- 余弦法[2]、exp-函数法[2]、试验函数法及其扩展[3]、扩展辅助方程法[4]、改进的Fan-子方程法[5]、(G′/G)-展开法[6]、exp(-φ(ξ))-展开法[6]等。众所周知，经典的NLSE描述了脉冲宽度在100 fs以上的光脉冲在光纤中的传播[7]。随着脉冲宽度逐渐变窄，如接近50 fs甚至低于10 fs时，系统必须考虑非线性项和高阶色散(如三阶和四阶色散)。

本文考虑描述超短光脉冲在光纤中传播的具有高阶色散和立方- 五次非线性项的NLSE[8]

(1)

利用动力系统的分岔理论不仅能够得到方程局部解的表达式，而且还可以探查方程解的整体结构[10-11]，因此本文先利用代入法将方程(1)转化为动力系统，再运用分岔理论来分析系统的动力特性。通过分析相图的有界轨道不仅得到了方程有界行波解的显式表达式，而且还可直接获知行波解的分类结构。

1 动力系统分岔分析

对方程(1)采用行波变换E(z,t)=φ(ξ)eiη，其中ξ=v0z-vt,η=ω0z-ωt，并分离实部、虚部可得

γ1φ3(ξ)-γ2φ5(ξ)=0

(2)

式中，

当l1=l3=0时文献[5]采用改进的Fan-子方程法获得对应的行波解；当θ=l2l3-l1l4≠0时将式(2)一式微分并代入式(2)二式中得

φ″(ξ)=c2φ(ξ)+2c4φ3(ξ)+3c6φ5(ξ)

(3)

式中，c2=-l0l3/θ,2c4=-γ1l3/θ,3c6=γ2l3/θ。式(3)等价于如下所示的二维自治系统

(4)

这是一个具有Hamilton函数

H(φ,y)=y2-c2φ2-c4φ4-c6φ6=h

图1 平衡点个数及其类型的分布区域Fig.1 The distribution regions of the number and type of equilibrium points

图2 不同区域所对应……