扩散方程Crank-Nicolson格式的稳定性

余昌彪,郭 红,杜明洋,张甜甜,许文文

齐鲁工业大学(山东省科学院) 数学与统计学院,济南 250353

关于扩散方程Crank-Nicolson格式的研究已有大量结果,文献[1]构造了扩散系数为1时的一维和二维抛物方程的Crank-Nicolson格式,并证明它是阶数为二的无条件稳定的差分格式;文献[2]把二维Crank-Nicolson格式,由常系数推广到变系数情形,并证明了它是阶数为二的无条件稳定的差分格式。稳定性作为数值格式的一种属性,在某种意义下,格式的稳定性与一致性相结合,就可以推出数值格式对于原问题的估计的收敛性。而一致性易于验证,从而研究稳定性是得到收敛性的主要工作。P.D.Lax借助泛函分析的工具,对一类很广的初值问题证明了差分格式解的收敛性和稳定性的等价定理[3]。J.Douglas采用初等的方法讨论了具体问题,得到了收敛速度的估计[4]。李荣华综合了Lax和Douglas工作的优点,给出Lax等价定理的一个初等证明,去掉了关于初值问题的适定性要求和简化了Douglas的证明[5]。而本文研究的任意正常数的扩散系数的Crank-Nicolson差分格式不仅是无条件稳定的,而且误差较小,计算速度快。

1 扩散方程的解析解

考虑常系数扩散方程

(1)

其中a为正常数且g(x)不恒为零。

令u(x,t)=h(x)p(t)且是方程(1)的充分光滑解,所以u(x,0)=h(x)p(0)=g(x),由于g(x)不恒为零,那么h(x)=g(x)/p(0),进而

由扩散方程(1)得

它的解是

其中c是任意常数,故扩散方程的解析解为

(2)

从u(x,t)的表达式可以看出扩散方程(1)解析解的正负性完全由g(x)的正负性控制。

2 差分格式的建立

将区域[0,1]×(0,+∞)沿x轴和t轴方向进行矩形剖分,其中空间步长为Δx=h=1/J,时间步长为Δt=τ,网格点(xj,tn)记作