高次非负实系数递推数列的数值通项求解及思路深探

窦明华

无论是高考还是竞赛，数列扮演着重要的角色，占据了举足轻重的地位。而对于较为常规的线性实系数递推，已有一套完整的理论体系和解决策略，即使是竞赛中出现的一些非线性逆推数列，也往往可以结合换元，放缩，母函数求导或积分，不动点法等进行求解，在此笔者不作过多赘述。然而总会存在某些非线性递推数列，其通项公式无法仅用初等方法求出，如：

an+1=an2+1             a0=1.求其通项 an.

该问题困扰笔者很长时间，直至笔者意识到其解析通项不存在，并利用数值逼近的思路得到其数值通项，同时将该思路推广至高次形式。本文将对此作出全面详细的阐述，其中将涉及一些简单的高等数学知识，但是配合笔者的描述来进行理解应该并非难事。

考虑如下的递推数列：

为了进行数值估计，我们对求和进行处理：

考察无穷级数

有

故

故由此值判别法知无穷级数收敛，即

其中

下面对rn进行考察：

根据an递增的性质，

故必存在一个充分大的正整数N，使得大于N的整数n满足，

（这里的[x]为取整函数，{x}=x-[x]）

于是我们便得到了该数列的数值通项，但必须满足 ，否则将无法对an进行确定，之所以没有将此系数限制条件置于文首，是为了使论述过程更加自然，而在运用此方法时，βk>2βk-1的条件不可忽略。

数列与函数有何联系？这个问题引人深思，它们都建立了變量之间的联系。但相较于数列而言，函数仿佛更胜一筹，这是因为函数的连续性可使其更直观地应用于生活，且函数……