基于QKF 的隧道电力工程车辆锂电池SOC 估计算法

孙增田，陈 毅，巫春玲，巨永锋

（1.广州地铁设计研究院股份有限公司，广东广州 510010；2.中交一公局第六工程有限公司，天津 300451；3.长安大学电子与控制工程学院，陕西西安 710064）

轨道交通中的传统内燃式工程车辆在地铁隧道内作业产生的空气和噪音污染一直饱受诟病，伴随动力电池技术的进步，出现了以蓄电池为动力源的电力工程车辆[1-2]。由于隧道工程车运行工况复杂，运行条件极端，需要一套隧道工程车辆电池管理系统（BMS）对各种运行工况下锂电池的信息进行实时的监控和管理。电池的荷电状态（SOC）是BMS 的一项核心参数[2]，精确的SOC 估计不仅可以帮助使用者预测电池的能量产出，还可以帮助使用者避免电池过充或过放，以达到确保电池的安全，延长电池的使用寿命的目的。

对于SOC 的估计方法有很多，主要有三大类：传统的SOC 估计方法、基于电池模型的估计方法和基于融合模型的估计方法。当前估计电池SOC 的方法大多是基于电池等效电路模型[3-5]，结合现代控制理论方法，确定电池等效电路模型后构造空间状态方程。然后采用扩展卡尔曼滤波器[6-8]、无迹卡尔曼滤波器[9-11]、粒子滤波器[12-15]等方法对状态变量SOC 进行精确估计。

文献[16]提出离散时间非线性滤波算法-求积分卡尔曼滤波器（Quadrature Kalman Filter,QKF）。其基本思想是，从统计线性回归（Statistical Linear Regression,SLR）的角度，运用高斯-厄米特积分点推导出新的求积分卡尔曼滤波器。在目前的众多SOC 估计算法中，运用QKF 估计方法的文献非常少，该文采用QKF 算法对SOC 进行高精度估计。首先运用二阶等效电路模型（Thevenin 模型）对电池进行等效建模，并建立模型的状态方程，然后运用QKF 算法对SOC进行估计，实验证明了QKF 算法在估计SOC 时具有较高的估计精度。

1 锂离子电池荷电状态SOC定义

电池荷电状态SOC 可直观地表现电池的剩余电量。《电动汽车电池试验手册》中对SOC的定义如下：

其中，Qremain表示锂离子电池的剩余电量，QN为电池出厂时标定的额定容量，这个标定值是在特定的温度、放电倍率等条件下获得的。工程中考虑到电池循环使用多次后，额定容量会有一定的衰减，所以可以用式（2）来描述电池SOC，同时也可以表示为：

其中，Qdischarged表示锂离子电池已使用的电荷量，此式成立的前提是锂离子电池的额定电荷量是已消耗电量与剩余电量之和。

2 锂离子电池等效模型

电池模型的建立与参数的辨识，决定着锂离子电池SOC 估算的精确性，采用二阶RC 等效电路模型对电池进行建模。

如图1 所示，Uoc表示电池开路电压，Ro表示电池等效欧姆内阻，R1、R2表示极化电阻，C1、C2表示极化电容。该模型模拟了电流It发生变化时终端电压Ut的变化过程，此变化过程缓慢且稳定。

图1 二阶RC等效电路模型

根据二阶RC 等效电路模型，其数学模型可以描述为：

其中，U1(t)和U1(t)分别是R1C1和R2C2两个环节的电压。

将该二阶等效电路模型离散化：

离散化后的SOC 表达式可以写成：

其中，QN表示电池的额定容量，Δt是采样时间。

进一步得到如下形式：

其中，各状态变量转移矩阵分别为：

wk表示由于模型本身存在的误差和输入变量中噪声的干扰所引起的过程噪声，vk表示测量所引起的观测噪声，假设过程噪声和观测噪声是不相关的高斯白噪声，其特性为wk～N(0,Qk)，vk～N(0,Rk)。

3 求积分卡尔曼滤波器QKF

考虑如下的非线性离散状态空间模型：

式中，xk是状态向量，zk是观测向量，f(·)为非线性过程函数，h(·)是量测函数，wk是过程噪声序列，vk是量测噪声序列。假定wk和vk都是零均值高斯的，且满足：

这里δ是Kronecker-delta 函数。QKF 算法的时间更新和量测更新如下。

3.1 时间更新

在状态空间中找到m个回归点及其相关的权这些回归点的均值和方差分别为和Pk-1|k-1，则：

式（11）的线性函数表达如下：

其中，ek表示线性化误差。Αf,k-1和bf,k-1分别如下：

对式（15）取直到k-1 时刻的条件期望，得到状态估计预测

从式（15）和式（18）得预测误差协方差：

将Pk|k-1按回归点的加权和求得，即

增加过程噪声的影响：

即QKF 最终近似的预测密度:

3.2 量测更新

而后对量测函数h(·)线性化，进行量测更新：

由此得到k时刻的后验概率密度：

4 实验与仿真结果分析

在运行QKF 算法之前，需要初始化状态向量x0、协方差矩阵P0、系统噪声矩阵Q0和测量噪声矩阵R0。其中，初始的状态向量x0中SOC 值为SOC0，U1、U2只有在极化现象时存在，故其初值均为0。根据二阶等效电路模型，进行参数辨识得出R0为0.13 Ω，R1为0.005 Ω，R2为0.03 Ω，C1为1 140 F，C2为1 630 F，令Δt=0.002 s，SOC 初始值为100%。状态向量协方差矩阵系统过程噪声矩阵测量噪声

根据该文所给电池的二阶等效电路模型，运行以上所描述的QKF 算法，对电池SOC 进行估计，以验证算法的有效性。电池的OCV 与SOC 的关系如图2所示，QKF 对电池的估计效果见图3 和图4。

图2 电池OCV与SOC的关系

图3 电池的SOC实际值与估计值

从图2 可以得出，当电池端电压处于3.2～3.4 V时（SOC 处于10%～100%），电池的SOC 与端电压的关系可以近似形成斜率为12.857 的一次曲线。

从图3 可以看出，SOC 估计值和实际值这两条线几乎是重合的。从图4 的估计误差曲线也可以看出误差很小，低于1%。证明QKF 对于估计电池SOC 很有效，具有较高的精确度。

图4 SOC估计误差

5 结论

电池荷电状态的精确估计是电力工程车辆中电池管理系统的重要任务。该文提出采用QKF 用于对SOC 的高精度估计。QKF 通过一套参数化高斯密度的高斯-厄米特积分点线性化非线性函数，算法的数值鲁棒性高，估计精度高。该文首先运用二阶等效电路模型对锂电池进行等效建模，并建立模型的状态空间方程，然后通过离线参数辨识法辨识出模型中参数，再运用QKF 算法对SOC 进行估计，实验表明，QKF 对SOC 的估计误差低于1%。表明QKF 算法具有很高的精确度，对于估计电池SOC 很有效。