基于实函数的KH-积分的可积性研究*

李 伟

(集美大学理学院, 福建 厦门 361021)

继Riemann积分[1]后，1957～1958年，J．kurzweil和R．Henstock分别独立地建立了一种新的完全Riemann型的积分，人们称之为kurzweil-Henstock积分[2-3](简记为KH-积分)．1982年被证明了该积分等价于在1912年建立的特殊的Denjoy积分和1914年建立的Perron积分，且它们都包容了Lebesgue积分[4](简记为L-积分)．1973年，美国学者E．J ．Mcshane研究了kurzweil-Henstock积分定义后，把kurzweil-Henstock积分定义中的条件作了若干限制，于1983年在纽约发表了题为《统一积分》的论文，定义了一种新的Riemann型积分，后来人们称之为Mcshane积分[5](简记为M-积分)．在此定义中无需用到复杂的测度理论[6]，并且证明了Mcshane积分等价于Lebesgue积分．为了寻找M-可积的等价条件，以及KH-可积的等价条件，A．W．Schurle于1984年在美国数学会会刊上发表的论文中提出了“Locally Small Riemann Sums”(局部小黎曼和)性质(简记为LSRS)[7]，间接地证明了函数可积性的等价条件，但证明过程十分繁杂．为了简化证明，人们一直在不断探索着．本文在M-积分、KH-积分及实函数的LSRS性质等理论[7-10]的基础上，证明了M-可积的等价条件；应用Harnack扩张定理，将其进一步拓展到KH-积分，并对其可积性进行了探讨．简化了文献[7]的证明．

1 预备知识

定义1[3]设δ(x)为区间[a,b]上的正值函数，对区间[a,b]任作分划：

a=x0

满足：

ξi-δ(ξi)

即

ξi∈[xi-1,xi]⊂(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)),i=1,2,...,n

该分划称之为δ-精细分法．

实函数f(x)在[a,b]上的δ-精细M分法及Mcshane积分定义见文献 [11] ．

如果f(x)在[a,b]上每点都具有LSRS性质，则称f(x)在[a,b]上具有LSRS性质．

定义3[7]设x∈[a,b]，称x为f(x)的奇异点，若对于任意闭区间[r,s]，满足x∈[r,s]⊂[a,b]，而f(x)在[r,s]上不可积．当x=a时，指x∈[a,s)⊂[a,b]；当x=b时，指x∈(r,b]⊂[a,b]．

定义4[3]设f(x)是定义于[a,b]上的实函数，如果存在常数A，∀ε>0，∃δ(x)>0，x∈[a,b]，对[a,b]上的任何δ-精细分法D={([u,v],ξ)}有:

|∑f(ξ)(v-u)-A|<ε

则称f(x)在[a,b]上为kurzweil-Henstock可积，简称KH-可积，A称为f(x)在[a,b]上的积分，记为

定义5[……