多项式剩余类环中幂零元计数问题研究*

田东代

(山东省菏泽市体育训练中心，山东 菏泽 274000)

1 预备知识

1.1 有限可交换环

有限交换环研究是代数学的基础性工作，主要内容包括唯一性分解问题、准素理想理论和公理化体系等方面[1]，从高次互反律、二元二次型和费马大定理等初等数论问题出发，围绕一系列经典案例展开研究，范围涉及代数数论、代数几何与不变量理论等领域.交换环研究初期以唯一因子分解问题为主，通过对复整数环、理想数等不同代数的精细刻画，提出了理想、序环等概念.E.Noether通过对理想升链条件的深入分析，实现了诺特环的公理化体系，从而建立起一般交换环理论,特别是她给出诺特环(含有限环)的结构分解定理，真正实现了交换环理论体系质的飞跃.在理论发展比较完善之后，其不断提升的理论层次拓宽了它的应用范围，渗透到数学的多个分支，相互间的影响和融合不断促进彼此的创新发展，呈现出未来发展的趋势.

1.2 有限交换环与编码设计

随着20世纪通信技术的快速发展，通信编码技术对交换环理论的依赖日渐显著，具有特殊结构的有限环(域)已成为现代编码理论的核心支撑.经典纠错码如Hamming码、BCH码、RS码等[2,3]在通信和信息领域得到了普遍应用，已成为信息技术领域重要的基础性工作.近年来，移动通信技术的发展也对编码技术提出了更加个性化的要求，具有编码码字多、最小距离大等特点的非线性编码技术成为研究热点 ，促进了有限环上……