非对称代数Riccati方程的一种快速Newton型算法

宋 岩,王小利,钟瑞华

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

本文考虑如下来源于中子运输理论的非对称代数Riccati方程：

其中X∈ℝn×n是未知矩阵,O是零矩阵,已知矩阵Α=Δ-eqT∈ℝn×n,B=eeT∈ℝn×n,C=qqT∈ℝn×n,D =Γ -qeT∈ℝn×n,且分别是定义在区间[0,1]上的Gauss-Legendre权重和节点.

式(1)可能存在多个解,但只有最小正解(即元素均为正数的矩阵)才具有物理意义[1].本文关注于求解式(1)最小正解的数值算法.Lu[2]在2005年首次将该矩阵方程转化为一种非线性向量方程,并指出只要通过计算向量方程的最小正解,即可得到矩阵方程的最小正解.具体来说,若X∈ℝn×n是式(1)的最小正解,则满足:

于是通过计算式(3)的最小正解,可以得到式(1)的最小正解.

关于式(3)的数值算法,目前主要有基于不动点迭代的研究,如文献[2-4],及基于Newton 型迭代的研究,如文献[5-11].由于Newton型迭代具有快速收敛性,故得到了广泛的关注.例如,Lu[7]在2005年提出了基于Newton法的一种迭代算法.进一步,Lin等[8]在2008年提出了基于一种三阶收敛的两步Newton法.

本文基于文献[12]所提出的一种具有三阶收敛的两步Newton法,提出了新的计算式(3)的数值迭代算法, 并证明了由该算法迭代产生的向量序列的单调收敛性. 最后, 通过一些数值实验来比较该算法和Newton法以及文献[8]中具有三阶收敛的两步Newton法的计算效能.

1 一种三阶收敛的两步Newton型方法

对于u,v∈ℝn,记x=[uT,vT]T,则式(3)等价于f(x)= 0.给定初始点x0=[uT0,vT0]T∈ℝ2n,考虑如下形式的两步Newton迭代：

其中xk=[uTk,vTk]T,yk=[uˉTk,vˉTk]T.式(4)的标量形式由Frontini和Sormani[12]在2003年将Newton法和文献[13]结合而得到.此外,由式(3)可得f的Jacobi矩阵:

基于迭代格式(4),得到如下用于计算式(3)的两步Newton 型算……