一类具有病毒变异的随机SEIR传染病模型的灭绝性与平稳分布

杜金姬，秦闯亮，陈海波，李秋英

(1.信阳学院数学与统计学院，河南信阳464000;2.中南大学数学与统计学院，湖南长沙410075;3.黄淮学院数学与统计学院，河南驻马店463000)

1.引言

人们一直在使用动力学方法来研究传染病的传播，并预测每次抵达流行病的趋势[1－5].如果在传染病的传播过程中出现突变，很容易导致疾病失控.例如禽流感病毒(H7N9)、乙型肝炎及其他疾病.因此，研究遗传变异病毒的过程有助于了解疾病和控制疾病的传播.最近，文[6]中研究了一类具有病毒变异的SEIR传染病模型的动力学行为.另外，实际生活中任何事物都受到环境波动的影响.因此，研究环境噪音对于疾病的影响是十分必要的[7－9].本文在文[6]模型的基础上加入随机扰动，提出随机SEIR传染病模型:

模型(1.1)中，总人口N被分成了五部分S，E，I1，I2，R且N=S+E+I1+I2+R.S，E，I1，I2，R分别表示t时刻易感者，潜伏者，病毒变异前的感染者，病毒变异后的感染者，康复者，μ为总人口出生率，d表示自然死亡率，β1为病毒变异前感染个体的感染率，β2为病毒变异后感染个体的感染率，K表示环境容纳量，δ为病毒变异前的感染者变成病毒变异后的感染者的比率，α表示是病毒变异前潜伏个体成为感染个体的系数，k1为病毒变异前感染者的恢复率，k2为病毒变异后感染者恢复率.参数μ，d，K，β1，β2是正常数，δ，α，k1，k2为非负常数.Bi(t)(i=1，2，3，4，5)是定义在一个完备概率空间(Ω，F，{F}t≥0，P)上的标准布朗运动，{F}t≥0满足非降和右连续，0(i=1，2，3，4，5)表示白噪音强度.

在模型(1.1)中，总人口N(t)满足

注意到变量s，e，i1，i2，r满足关系r=1-s-e-i1-i2，我们可以忽略模型(1.2)的第五个方程探索简化模型

其中初始值(s(0)，e(0)，i1(0)，i2(0))∈且s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)＜1.

2.全局正解的存在唯一性

为了研究系统(1.3)的动力学行为，我们首先证明系统存在全局正解.

定理2.1对于任意的初值(s(0)，e(0)，i1(0)，i2(0))∈且s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)＜1，当t＞0时，模型(1.3)存在唯一正解(s(t)，e(t)，i1(t)，i2(t))并且以概率1位于内.

证因为模型(1.3)的系数满足局部Lipschitz条件，则对任意初值(s(0)，e(0)，i1(0)，i2(0))∈，存在一个t∈[0，τe)上的唯一局部正解(s(t)，e(t)，i1(t)，i2(t))∈，其中τe为停时.为了证明解是全局的，我们仅需证明τe=∞a.s.为此，设k0＞0充分大，使s(0)，e(0)，i1(0)，i2(0)位于区间内.对每个整数k≥k0，定义停时

记inf∅=∞(∅表示空集).明显地，τk随着k→∞不断增加.令因此τ∞≤τea.s.如果能证明τ∞=∞a.s.则τe=∞a.s.并且对所有的t≥0，(s(t)，e(t)，i1(t)，i2(t))∈a.s.也就是需要证明τ∞=∞a.s.如果不成立，那么存在一对常数T＞0和ε∈(0，1)使得P{τ∞≤T}≥ε.因此，存在一个数k1≥k0使得对所有的k≥k1，成立

定义一个C2-函数V:→R+如下：

其中

因为r=1-s-e-i1-i2，所以

因此我们有

对(2.2)两边从0到τk∧T积分并取期望得

令Ωk={τk≤T}，k≥k1及由(2.1)式，有P(Ωk)≥ε.注意到对任意ω∈Ωk，都存在s(τk，ω)，e(τk，ω)，i1(τk，ω)，i2(τk，ω)等于或k.因此

由(2.3)和(2.4)式，我们有

其中1Ωk(ω)是Ωk(ω)的特征函数.

令k→∞，则有

矛盾.显然有τ∞=∞.定理得证.

3.疾病的灭绝性

本节我们讨论系统(1.3)中疾病的灭绝性.

定理3.1对任意的初值(s(0)，e(0)，i1(0)，i2(0))∈且s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)＜1，若条件

同时成立，则(e(t)，i1(t)，i2(t))指数收敛于(0，0，0)a.s.即疾病灭绝，其中

及

证定义一个可微函数V:

其中θ1，θ2是待定正数.根据公式及模型(1.3)，得

其中

由(3.1)式，存在正数m使得

同时成立.因此有m＜k1+δ+μ，且及m＜α+μ，且及m＜k2+μ，且≤-m+k2+μ同时成立，则可取

因此有

其中

由强大数定律得

因此，

即

证毕.

4.平稳分布及遍历性

本节基于Khasminskii理论和Lyapunov函数法研究模型存在遍历平稳分布的条件，首先给出所需引理.

令X(t)是定义在d维Euclidean空间Ed上的齐Markov过程，并可有如下的随机微分方程来描述：

对应的扩散矩阵为

引理4.1[10]如果存在一个有规则边界Γ的有界域D⊂Ed，并且：

(i)存在一个正数M，使得

(ii)存在一个非负C2函数V，使得LV对任意的x∈EdD是负的.则Markov过程X(t)存在唯一的遍历平稳分布π(·).

定理4.1设是系统(1.3)满足初始条件及s(0)+e(0)+i1(0)+i2(0)＜1的解.若条件

成立，则系统(1.3)存在唯一的遍历平稳分布π(·).

证定义正定函数V

类似地，

因此，

其中

定义紧子集D:

其中

且ψi∈(0，1)足够小满足下列条件:

那么

其中

下面我们证明LV恒负.

情况1 如果(s，e，i1，i2)∈D1，由(4.1)及(4.3)得

情况2 如果(s，e，i1，i2)∈D2，由(4.1)、(4.2)及(4.4)得

情况3 如果(s，e，i1，i2)∈D3，由(4.1)及(4.5)得

情况4 如果(s，e，i1，i2)∈D4，由(4.1)及(4.6)得

情况5 如果(s，e，i1，i2)∈D5，由(4.1)及(4.7)得

情况6 如果(s，e，i1，i2)∈D6，由(4.1)及(4.8)得

定义

显然对任意(s，e，i1，i2)∈D，有LV≤ζ＜0.另外，存在正数

使得

由引理4.1知，定理4.1结论成立.

5.数值模拟和结论

本节中我们通过数值模拟说明结果的正确性.

图5.1中取s(0)=0.35，e(0)=0.25，i1(0)=0.15，i2(0)=0.1，μ=0.1，β1=0.0005，β2=0.0016，k1=0.0666，k2=0.1428，δ=0.05，α=0.04，σ1=0.31，σ2=0.2，σ3=0.22，σ4=σ5=0.2，则M1=0.04805＜m≈0.2424，满足定理3.1的条件，由定理的结论可知疾病将灭绝.

图5.1 受感染个体灭绝的时间时序图

图5.2中取s(0)=0.45，e(0)=0.2，i1(0)=0.15，i2(0)=0.1，μ=0.01，β1=0.06，β2=1，k1=0.0222，k2=0.01428，δ=0.1，α=0.1，σ1=σ2=σ3=σ4=σ5=0.02，则满足定理4.1的条件，则系统存在唯一的遍历平稳分布.

图5.2 模型(1.3)的解s(t)，e(t)，i1(t)，i1(t)及其密度函数图

本文应用随机分析的方法研究了一类高维随机简化比例传染病模型，得到疾病灭绝和系统正解存在唯一遍历平稳分布的充分条件，对模型的研究更加有利于控制疾病的传播.