基于高阶微分方程构造函数的等价无穷小

刘前芳 何英杰 杨立敏

摘 要：等价无穷小替换是数学学习中一种常见且有效的求极限方法。針对和差运算中的等价无穷小，或是不易找到等价无穷小的函数，通过使用洛必达法则，结合连续函数的定义，构造具有初值条件的高阶微分方程，可以找到该函数在指定过程下的等价无穷小函数，从而应用到极限运算或其他计算当中。

关键词：等价无穷小;洛必达法则;高阶微分方程

1 绪论

微积分以函数为“体”，极限为“魂”，以极限为工具来研究函数.极限是微积分的理论基础，是大学数学里极其重要的一部分。求极限的方法有很多种，有定义法、有理化法、洛必达法则、中值定理等[1]，等价无穷小替换也是其中一种简便的算法。如何正确的找到已知函数的等价无穷小是使用这种方法过程中至关重要的一步。本文研究讨论函数在满足洛必达法则的使用条件下，构造具有初值条件的高阶微分方程，从而找到该函数在某个过程下的等价无穷小函数。

2 求已知函数等价无穷小问题的刻画

首先我们先来了解一下等价无穷小、洛必达法则以及高阶微分方程的基本知识。

定义1 设在同一个变化过程下limα=0，limβ=0，limαβ=1，则称α与β是等价无穷小量，记作α～β[2]。

定理1 x→x0时，α（x）～α1（x），β（x）～β1（x），且limx→x0β1xα1x存在（或SymboleB@），则limx→x0βxαx=limx→x0β1xα1x[2]。

假设要求极限的函数是几个因子相乘或相除的情形，使用定理1及乘除运算中的等价无穷小替换定理可以简化原函数的计算，但是相加相减的情况下并不能随意替换，否则容易出错。例如，x→0时，tanx-sinx是无穷小量，计算过程中容易错用等价无穷小代换tanx-sinx～x-x=0，这是不对的，事实上tanx-sinx～12x3。……