卷积鲁棒主成分分析

王 心，朱浩华，刘光灿

（南京信息工程大学自动化学院，南京 210044）

（*通信作者电子邮箱xinwang@nuist.edu.cn）

0 引言

随着大数据技术的发展，大量的数据资源不断涌现，但由于目前数据的获取没有约束，所以获得的可观测数据带有大量噪声，例如数据遭到严重腐蚀或者数据含有离群点。总的来说，这些误差会显著降低数据样本的代表性，从而严重扭曲数据分析，因此如何恢复目标数据成为了一个十分重要的问题，也带来了很大挑战。Candès 等［1］和Zhang 等［2］提出了鲁棒主成分分析（Robust Principal Component Analysis，RPCA）算法，它又称作主成分追求（Principal Component Pursuit，PCP）。假设通过可观察的数据矩阵M获得先验的相关信息，然后根据先验信息建立合适的模型，同时设计模型的优化算法，最后求解得到恢复的数据矩阵。RPCA 采用低秩模型，将数据矩阵分解为1 个低秩矩阵和1 个稀疏矩阵，即M=L+E，那么利用RPCA，在满足一些条件时就可以精确地恢复出L和E。广义鲁棒主成分分析（Generalized Robust Principal Component Analysis，GRPCA）［3］是RPCA 的拓展。当数据被两种以上的混合噪声污染时，RPCA处理结果并不理想，而GRPCA通过最小化核范数、l1范数和l21范数的组合问题，可以分离出被混合噪声污染的低秩矩阵。RPCA 和GRPCA 的应用广泛［3-4］，但是RPCA 和GRPCA 算法在解决数据结构非低秩性时效果会很差，即无法分离出1 个低秩矩阵L。为了处理L不满足低秩的问题，目前已有的解决方法是假设L在特征映射后是低秩的，这意味着L在某些特征空间是潜在低秩的，而在原始空间中本身的秩比较高甚至是满秩的。相关的代表算法有核主成分分析（Kernel Principal Component Analysis，KPCA）。KPCA 是传统主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）的扩展，它主要寻求核空间中数据点的近似低秩。……