高速铁路拱塔斜拉桥拱塔轴线优化求解

施 洲 ，胡 豪 ，蒲黔辉 ，刘振标 ，印 涛

（1.西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031；2.中铁第四勘察设计院集团有限公司，湖北 武汉 430063）

随着国内高速铁路的不断发展，线路以小角度斜跨既有高速公路、铁路、河流和管线的情况增多，给桥墩桥塔的布置带来困难.拱塔斜拉桥能灵活跨越既有交通管线、河流等，且线形优美.目前已建成的拱塔斜拉桥多用于公路桥和人行桥，尚未见用于铁路桥梁[1-3].当拱塔斜拉桥应用于荷载相对较大、刚度、稳定性和安全性要求高的高铁桥梁[4]时，亟需对拱塔的受力优化问题进行研究.

目前，公路拱塔斜拉桥的结构受力等方面已有一定研究.Sung等[1]针对猫罗溪桥索力优化问题提出基于最小应变能原理的拱塔斜拉桥索力优化方法，优化效果较好；李鑫等[5]通过跑车试验和数值分析方法研究了沈阳市三好桥拱塔及桥跨结构的车致振动问题；曹一山等[6]通过模型试验和有限元方法研究了杭州之江大桥的受力，验证了拱塔斜拉桥相对复杂的受力与变形特点.

拱塔斜拉桥的拱塔结构承受的斜拉索索力除竖向分力外还有巨大的横桥向分力，普通拱桥常用的“五点重合法”、曲线拟合等拱轴线优化方法[7-11]均不再适合拱塔轴线的优化.栗怀广等[12]针对三明台江大桥的拱塔提出了一种针对拱顶部分结构的拱塔轴线逐段设计算法，考虑了拱塔所受的横向水平力，适用于索梁锚固点位于主梁中心线上的拱塔斜拉桥拱塔轴线优化，取得良好的优化效果.目前尚没有针对全拱塔结构开展拱塔轴线优化的研究.与既有公路和人行拱塔斜拉桥相比，高速铁路拱塔斜拉桥的拱塔具有受力及变形要求高、矢跨比相对较小、索塔锚固点处所受竖向和横桥向分力大等特点.在此，基于受力平衡分析[13]、非线性方程组不动点迭代求解和有限元计算研究通用的拱塔轴线迭代优化理论方法，以广汕铁路跨深汕高速拱塔斜拉桥为研究对象，验证其有效性，并分析优化前后拱塔轴线线形和拱塔受力与变形的变化规律.

1 拱塔斜拉桥拱塔轴线优化理论

1.1 基于拱塔结构受力平衡的优化理论

拱塔斜拉桥的拱塔承受斜拉索索力的竖向、横向、纵向三向分力和自重作用.考虑到拱塔两侧斜拉索传递纵向分力的对称性，即不考虑纵向索力不对称，则拱塔两侧斜拉索的索力沿纵桥向分力相互抵消，拱塔仅承受其轴线平面内的竖向和横向分力.拱塔自重为沿拱塔轴线竖向均布荷载q=γA（γ为拱塔材料容重；A为拱塔截面面积）.考虑到拱塔结构的面内对称性，取横向半跨拱塔进行受力分析，半拱塔轴线可用n段直线段（n+1个节点）表示，以拱顶为坐标原点，在斜拉索锚固处均设置节点.拱塔节点坐标为（0，Yr，Zr）（r=1，2，···，n+1），di（i=1，2，···，n）为第i段直线段的长度，索塔锚固点处拱受到的索力分解为竖向力Vr和水平力Hr，其他中间节点处Vr、Hr为0，f为拱塔的矢高，l为拱塔的跨度，M1、Mn+1均为节点弯矩，如图1所示.

图1所示的拱轴受力中，恒载或其他组合荷载下斜拉索索力Fr，相应索梁锚固点的坐标（Xj，Yj，Zj）（j=1，2，···，m，m为索梁锚固点数目），则Vr和Hr分别为

图1 拱塔受力分析Fig.1 Force analysis sketch of arch-shaped pylon

拱塔各节段的长度为

理想的拱塔轴线下，拱塔拱顶截面仅有水平力H1（V1=0，弯矩M1=0），拱脚仅有水平反力Hn+1和竖向反力Vn+1（弯矩Mn+1=0），则拱塔受力平衡方程为

式中：q为均布载荷；V、H分为半拱结构整体上竖向力、水平力的合力.

联立式（4）～（6），可求得Vn+1、Hn+1，和H1的值.

拱塔第k号节点（k=2，3，…，n+1）弯矩Mk为0，即有

将Vn+1、Hn+1和H1的值代入式（7）中，指定各节点的横坐标Yr且不变，以各节点（除拱顶节点外）的竖坐标Zi作为变量，则式（7）等价于式（8）.

拱塔轴线线形与其承受的荷载（包括自重、斜拉索索力）是相互影响的[14]，不同拱塔轴线线形（即向量z）对应的拱塔斜拉桥斜拉索合理张拉索力Tr不同，计算荷载下斜拉索的索力Fr时，需要先确定Tr.斜拉索索力优化的方法较多[15]，工程上，常采用以弯曲应变能最小为优化目标的影响矩阵法[16-17]优化确定Tr，进而确定Fr及其分量Vr、Hr.可知：式（8）中ck的值也取决于未知z，故式（8）为非线性方程组.通常，获得非线性方程组的理论解是困难的，在此选取初始解向量为z(0)，采用不动点迭代[18]的数值解法求其近似解z(t)（t≥ 1），迭代收敛准则为

满足收敛准则的z(t)为非线性方程组的近似解向量，即求得了近似的合理拱塔轴线.

1.2 拱塔轴线优化步骤和流程

基于拱塔结构受力平衡的优化理论，拱塔轴线迭代优化方法的具体优化如下：

1) 初步拟定拱塔基本参数l、f、q、拱塔轴线各节点横向坐标Yr（r=2，3，···，n+1），拱顶节点坐标为（0，0，···，0））、索梁锚固点坐标（Xj，Yj，Zj）等；

2) 合理拱塔轴线下，拱塔第k号节点（k=2，3，··，n+1）弯矩为0，根据式（8）建立以z为变量的非线性方程组；

4) 应用索力优化的影响矩阵法优化确定Ti；

5) 按拟定的基本参数、拱塔各节点Z坐标和Tr，建立有限元模型计算Fr，结合索塔、索梁锚固点的坐标，根据式（1）、（2）计算Vr和Hr；

6) 根据式（3）计算di；

7) 拱塔拱顶截面仅有水平力H1（V1=0，M1=0），拱脚仅有水平反力Hn+1和竖向反力Vn+1（Mn+1=0），则联立式（4）～（6）求得Vn+1、Hn+1和H1的值，进而确定非线性方程组中向量c=[c2c3···cn+1]T；

8) 计算求得向量z(t)，判断是否满足不动点迭代法解非线性ε方程组的迭代收敛准则：ε（ε 可取值 0.01 m），若满足，则迭代终止，取迭代得到的向量z(t)为非线性方程组的近似解，否则，更新初始解为新得到的解，返回4)继续迭代计算.

基于MATLAB编制相应拱塔轴线优化计算程序即可方便地完成合理拱塔轴线的近似解确定.

2 高铁拱塔斜拉桥拱塔轴线优化

2.1 工程概况及有限元模型

广汕铁路为设计时速350 km的客运专线，线间距5 m，设计荷载为双线ZK活载，线路方向与深汕高速公路线路方向夹角为26°.广汕铁路跨深汕高速主桥采用（32+160+32）m 拱塔斜拉桥，桥址处高速公路为路堑段，双向6车道，正宽29 m，后期规划为双向8车道，正宽约44 m，地方规划要求净空不小于6 m.该桥主梁采用钢混叠合梁结构，拱塔采用带加劲板肋钢箱截面，拱塔跨度为71.577 m，矢高为57.356 m.边墩、桥台和广州侧辅助墩处设置竖向和横向限位、纵向自由活动的支座，汕尾侧辅助墩处设置固定支座，拱脚与拱塔基础固结，桥梁布置如图2所示.

图2 拱塔斜拉桥布置 (单位：cm)Fig.2 Overview of arch-shaped pylon cable-stayed bridge (unit：cm)

根据广汕铁路跨深汕高速拱塔斜拉桥的初步设计参数，利用MidasCivil软件建立了该桥的空间杆系有限元模型，如图3所示.全桥离散为224个节点，196个梁单元和24个只受拉杆单元.其中主梁和拱塔采用两节点空间梁单元模拟，斜拉索采用只受拉杆单元模拟.有限元模型中，拱塔采用一次成拱施工，为考虑全桥施工过程对斜拉索索力的影响，考虑了钢混叠合梁主梁施工阶段钢梁顶推施工和混凝土桥面板分段浇筑施工的模拟.

图3 有限元模型Fig.3 Finite element model

2.2 拱塔轴线优化

为验证拱塔轴线迭代优化方法，对广汕铁路跨深汕高速拱塔斜拉桥的拱塔初步设计拱塔轴线线型（记为轴线O，如图3）开展优化.分别考虑恒载（不包括基础变位，记为工况a）、恒载+单线列车竖向静活载（记为工况b）和恒载+双线列车竖向静活载（记为工况c）3种荷载工况下拱塔轴线的最优线形.恒载及活载均按照设计文件及规范取值，应用拱塔轴线优化计算程序，计算工况a、b、c下合理拱塔轴线，迭代收敛准则取得到不同荷载工况下优化后拱塔轴线分别记为轴线A，B和C，见图4，图中坐标系以拱塔轴线竖向对称轴与梁顶中心线的交点为原点，纵桥向汕尾侧为X轴正向，横桥向广州到汕尾线路方向左侧为Y轴正向，竖直向上为Z轴正向.

图4 优化前后拱塔轴线Fig.4 Axes before and after being optimized

采用拱塔轴线迭代优化方法优化拱塔斜拉桥拱塔轴线的迭代收敛速度较快，迭代6～8次后，拱塔轴线坐标变化极小，基本收敛于定值.迭代计算轴线C过程中相邻两次迭代各节点坐标差值如图5所示.图中：ΔZea为第a次和第e次迭代后拱塔轴线各节点Z坐标差值.鉴于实际工程重视结构线形的流畅和美观，运用基于线性最小二乘模型的多项式回归方法[18]，将拱塔轴线C用高次6次多项式进行拟合得拱塔轴线方程为

图5 相邻两次迭代各节点坐标差值Fig.5 Difference of each node in two adjacent iterations

由拟合后拱塔轴线（图4）可知：其与轴线C吻合较好，跨度不变，矢高比轴线C和轴线O略高，曲线更光滑.

优化前后拱塔轴线的跨度和矢高均不发生改变，实际设计工作中可根据地形条件、景观等因素优先确定拱塔的跨度和矢高，然后按拱塔轴线迭代优化方法优化拱塔轴线.

3 优化前后拱塔受力与变形分析

3.1 优化前后拱塔弯矩对比分析

拱塔斜拉桥在不同荷载工况（工况a、b、c）下斜拉索索力不同，其对拱塔轴线的优化结果也有明显的影响.为分析不同工况下优化前后拱塔弯矩情况，分别建立拱塔轴线优化前后的有限元模型，计算拱塔的弯矩情况.工况a、b、c下拱塔弯矩最不利值及沿拱塔长度的分布如图6和表1所示，其中以拱塔外侧受拉为正弯矩，内侧受拉为负弯矩.可知，3种工况下，按照拱塔轴线迭代优化方法优化后，拱塔弯矩最不利值降低89.8%～94.8%，降低显著，表明优化方法的高效性.

表1 不同荷载工况下拱塔弯矩最大值及其变化率Tab.1 Maximum bending moment of arch-shaped pylon and its change rate under different load conditions

图6 不同荷载工况下拱塔弯矩Fig.6 Bending moment of arch-shaped pylon under different load conditions

为进一步对比分析桥梁设计荷载组合下拱塔轴线优化前后拱塔弯矩变化规律，根据优化前后5种不同拱塔轴线，分别计算主力、主力+附加力组合下拱塔弯矩包络曲线，如图7、8所示，最大正负弯矩结果如表2.采用优化后的拱塔轴线与采用轴线O相比，主力组合下拱塔所受最不利正负弯矩均大幅降低，降低幅度介于67.2%～92.2%之间；主力+附加力组合工况下拱塔所受正负弯矩均大幅降低，降低幅度介于64.6%～85.5%之间.采用轴线C时拱塔所受正负弯矩降低幅度最大，采用其拟合后轴线时，拱塔弯矩略变大，但线形美观、光滑，便于设计表述及施工制作.

表2 荷载组合下拱塔弯矩最大值及其变化率Tab.2 Maximum bending moment of arch-shaped pylon and its change rate under the combination of design loads

图7 主力组合下拱塔弯矩包络图Fig.7 Bending moment envelope diagram of arch-shaped pylon under the combination of main forces

图8 主力+附加力组合下拱塔弯矩包络图Fig.8 Bending moment envelope diagram of arch-shaped pylon under the combination of main forces and additional forces

3.2 优化前后应力对比分析

主力、主力+附加力组合下，根据优化前后5种不同拱塔轴线分别计算拱塔和主梁各截面的正应力情况.其中主梁混凝土桥面板和钢箱梁的正应力基本不变，在此分析拱塔各截面的正应力情况.两种荷载组合下，拱塔各截面正应力情况如图9所示，图中：σmax、σmin分别为最大和最小正应力.正应力极值及其变化率如表3所示.采用轴线A、B、C和拟合后轴线与轴线O相比，拱塔各截面最大拉压应力均大幅下降.主力组合下，轴线A下，最大拉应力下降91.2%，轴线B、C和拟合后轴线下，拱塔各截面无拉应力，即全截面受压；轴线A、B、C和拟合后轴线下，最大压应力下降52.8%～69.3%；拟合轴线下，拱塔应力由−169.5～169.7 MPa 降低至−70.2～−14.3 MPa.主力+附加力组合下，拱塔最大拉应力降低89.2%～97.2%，拟合后轴线下，拱塔各截面无拉应力，即全截面受压；轴线A、B、C和拟合后轴线下，最大压应力降低51.0%～67.2%；拟合轴线的拱塔应力由−172.6～179.5 MPa 降低至−74.0～−6.2 MPa.

图9 拱塔各截面正应力Fig.9 Normal stress of each section of arch-shaped pylon

表3 荷载组合下拱塔正应力极值及其变化率Tab.3 The maximum normal stress of arch-shaped pylon and its change rate under the combination of design loads

3.3 优化前后变形对比分析

高速列车对桥梁的刚度要求极高，对比广汕铁路跨深汕高速拱塔斜拉桥优化前后5种不同拱塔轴线列车活载作用下变形特性，双线ZK活载下拱塔竖向位移最大值（rmax）、最小值（rmin）沿横桥向即拱塔跨径分布如图10所示，拱塔及主梁位移极值绝对值及其变化量如表4 所示.表中：γ1、γ2分别为拱塔负挠度（向上的挠度）、正挠度（向下的挠度）.采用轴线A、B、C和拟合后轴线与轴线O相比，γ1减小1.4～2.3 mm，γ2减小 4.4～5.4 mm，拟合轴线拱塔正、负挠度分别降低51.0%、33.8%，提升了拱塔刚度.表4表明：采用轴线A、B、C和拟合后轴线与轴线O相比，主梁负挠度增大1.9～2.2 mm，正挠度减小6.2～7.2 mm，主梁总体变形明显减小，桥梁整体刚度得以提升.

图10 拱塔竖向位移Fig.10 Vertical displacement of arch-shaped pylon

表4 位移极值绝对值及其变化量Tab.4 Absolute values of extreme displacements and its change

4 结 论

针对高速铁路拱塔斜拉桥拱塔轴线优化问题，提出基于受力平衡分析、非线性方程组不动点迭代求解和有限元计算的拱塔轴线迭代优化方法，开展广汕铁路跨深汕高速拱塔斜拉桥的拱塔轴线优化验证与分析，得到以下结论：

1) 基于拱塔受力平衡分析，提出拱塔轴线迭代优化方法，并基于MATLAB编制拱塔轴线优化计算程序，结合有限元计算，实现任意初始拱塔轴线下保持拱塔跨度及矢高不变的拱塔轴线优化.

2) 恒载、恒载+单线列车竖向静活载、恒载+双线列车竖向静活载3种荷载工况下，采用拱塔轴线迭代优化方法迭代6～8次拱塔轴线节点坐标均可收敛于定值，收敛速度快.

3) 3种不同的荷载工况下，优化后拱塔弯矩最不利值降低89.8%～94.8%，主力、主力+附加力组合下，拱塔弯矩降低幅度分别介于67.2%～92.2%、64.6%～85.5%之间；主力+附加力组合下，拱塔应力由−172.6～179.5 MPa 降低至−74.0～−6.2 MPa，优化后拱塔受力改善显著.

4) 优化后轴线与轴线O相比，双线活载下，拱塔负挠度减小1.4～2.3 mm，正挠度减小4.4～5.4 mm，拟合轴线拱塔正负挠度分别降低51.0%、33.8%；主梁负挠度增大1.9～2.2 mm，正挠度减小6.2～7.2 mm，主梁总体变形明显减小，桥梁整体刚度提高.

5) 应用拱塔轴线迭代优化方法优化拱塔轴线后，拱塔结构受力有效改善，桥梁整体刚度得到提升，优化拟合拱塔轴线在实桥予以采用，验证了该优化方法的可行性.