从特征值到特征向量以及相关应用

刘国华， 许 扬

(1.东南大学 数学学院，南京210000； 2.复旦大学 计算机科学技术学院，上海200433)

1 引 言

设A是复数域上的Hermite矩阵，DENTON P B.，等在文献[3]中证明了A的特征值和特征向量之间满足下面的特征-特征向量等式

其中λ1(A)，…，λn(A)是A的特征值全体，∀l∈{1，…，n}，νl是A关于λl(A)的特征向量，Ml是A去掉第l行和第l列得到的n-1阶矩阵，λ1(Ml)，…，λn-1(Ml)，是Ml的特征值全体.此外，(ν1，ν2,…，νn)按列分块做成的n阶方阵是酉矩阵，∀(i,j)∈{1，…，n}2，νi，j表示νi的第j个分量.因此，特征值-特征向量等式反映了A的特征值，Ml(l∈{1，…，n})的特征值，A的特征向量的各分量这三者之间的关系.同时，作者们指出了类似的等式对域上的可对角化矩阵也成立，更一般地，上述等式可以推广到交换环上的可对角化矩阵上.

本文首先证明了交换环上的可上三角化矩阵上的特征值-特征向量等式，所得结果包含了可对角化矩阵的情形，推广了文献[3]的结果.由于域上的任意方阵都可以在基域的代数闭包中上三角化[4]，因此本文的结论对域上的任意方阵都成立.在本文的第4节中，给出了特征值-特征向量等式的一个应用，利用交换环上的可上三角化矩阵上的特征值-特征向量等式，证明了对域上的矩阵A的特征值λ，若∀l∈{1，…，n}，λ是Ml的特征值，则λ作为A的特征值其重数大于等于2，进一步的，当A可对角化时，前述命题的逆命题也是成立的.

2 一些定义、记号和引理

在本节中，给出文中需要的记号、定义和引理.

给定交换环R，n∈+，用In表示R上的n阶单位矩阵.对R上的n阶方阵A，∀(i,j)∈{1，…，n}2，用A(i,j)表示A的第i行第j列的元素，并记A*是A的伴随矩阵.

下面列出伴随矩……