半函数线性模型的k近邻经验似然推断

汪 文， 凌能祥

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

在过去的二十年中，函数型数据分析(FDA)受到了广泛的研究，并成为统计研究中最重要的领域之一.文献[1]首次将函数型数据引入到线性模型中.为了更好的拟合效果，文献[2]首次引入了半函数部分线性回归(SFPLR)模型

其中Xj(j=1,2,…,p)是解释变量，βT=(β1,β2,…,βp)是一列未知参数，利用核方法构造了参数分量和非参数的估计值，并给出了参数分量的渐近正态性和非参数分量的收敛速度.文献[3]进一步考虑了在响应变量随机缺失时相关分量的研究结果，并给出了实验模拟和真实数据分析.文献[4]利用k近邻方法研究了SFPLR模型.文献[5-6]提出了在参数置信域构造上优于正态逼近的经验似然方法.文献[7]分别将经验似然方法应用于响应变量缺失下的半函数线性模型和SFPLR模型.文献[9]和文献[10]分别利用k近邻进行时间序列分析，和研究函数型数据.本文利用经验似然方法研究了SFPLR模型，通过k近邻方法构造了模型中参数分量的经验似然比统计量，并得出该统计量具有渐近χ2分布，并同时给出了非参数分量的估计值及其收敛速度.

2 估计方法

(1)

定义权函数

令

且

的kNN估计分别是

显然E[Zi(β)]=0.利用此信息定义β的经验对数似然比函数为

利用Lagrange乘子法，可得

其中λ(β)为Lagrange乘子，满足

3 定 理

定义空间SH上 Kolmogorov’sε-熵为ψSH(ε)=log(Nε(SH))，其中Nε(SH)为在空间H上必须覆盖SH的开球半径ε的最小值.并给出以下具体假设：

(A2) 存在函数φ(·)≥0,f(·)>0，对α>0，常数τ>0，有

(ii) ∃C>0,η0>0,对∀0<η<η0,φ′(η)

(iv) ∃C<∞使得∀(u,v)∈SF×SF, ∀f∈{m,g11,…,g1p}, |f(u)-f(v)|≤Cd(u,v)α；

(A3) 核函数K(·)满足：

(i)K(u)是非增函数且在支集[0,1)上Lipschitz连续,

(ii) 若K(1)=0，则-∞

(A4)SH的 Kolmogorov’sε-熵满足：

(A5)k=kn是正实数序列且……