d-作用下保测系统的限制敏感性

张瑞丰， 朱晓凡

(合肥工业大学 数学学院，合肥230601)

1 引 言

1948年，Shannon将统计物理中的概念引申到通道通信的过程中时提出了Shannon熵的概念，开创了“信息论”.随后，1959年，Kolomogorov和Sinai借助Shannon信息论中的思想，引入了测度熵的概念，首次将熵与动力系统结合起来.之后Adler，Konheim和McAndrew于1965年在拓扑动力系统中用开覆盖定义了连续映射的拓扑熵.1971年，Bowen利用分离集和张成集给出了拓扑熵的等价定义.

1971年，Ruelle[1]首次严格的给出了初值敏感依赖的定义，受到人们的广泛关注.1986年，Devaney把初值敏感依赖作为定义动力系统混沌的重要条件，给出了比Li-Yorke混沌更直观的定义——Devaney混沌.熵和敏感性都是反映系统复杂程度的重要指标，敏感性和熵之间的关系也一直是专家学者感兴趣的研究方向.2005年Cadre和Jacob在文献[2]给出了两两敏感的概念，并说明弱混合蕴含两两敏感，同时证明了正熵蕴含两两敏感.之后，2012年，Domenico Aiello和Hansheng Diao[3]在其基础上给出了限制敏感性和限制两两敏感的定义，并研究了限制敏感性、限制两两敏感性与测度熵之间的关系.

2 准备知识

Λn={g=(g1，g2，…，gd)∈d∶|gi|

λn=#Λn，#Λn代表集合Λn中元素个数.

定义1[6]设(X，B，μ)是一个概率空间，G为作用在空间上的d-作用，若对∀g∈Λn和∀B∈B，都有

g-1B∈B且μ(g-1B)=μ(B)，

则称(X，B，μ，d)是一个保测系统.

定义2[6]设(X，B，μ，d)是一个保测系统，如果对任意∀g∈Λn满足g-1B=B的B∈B，必有μ(B)=0或μ(B)=1，那么称系统(X，B，μ，d)是遍历的.

定义3[6]设(X，B，μ)是一个概率空间，μ∈M(X)，G为作用在空间上的d-作用A={A1，A2，…，Ak}是一个有限可测剖分，定义剖分A测度熵为

进一步定义G关于剖分A的测度熵为

定义G关于μ的测度熵为

hμ(G)=suphμ(G，A)，

这里A取遍X所有有限可测剖分.

定义4(X，B，μ，d)是一个保测系统……