“指数函数”教材内容的比较研究

易雪琴 陈火弟 刘倩

[摘 要] 本文选取人教A版与北师大版高中数学教材“指数函数”有关内容，综合运用内容分析法与难度模型法，从章节结构编排、概念的呈现方式、基本思想与方法的挖掘、习题配置和编写者意图五个维度进行比较研究，旨在以培养数学核心素养为导向，对高中数学教学提出合理化建议。

[关键词] 人教A版;北师大版;指数函数;对比分析

教材是根据课程标准编写的教学用书，是教师课堂教学的依据，也是引导学生发展的范例。数学教材为“教”与“学”活动提供了学习主题、基本线索和具体内容，是实现数学课程目标、发展学生数学核心素养的教学资源。教材具有普适性，教师应合理运用教材进行创造性教学，从而体现出教学的适宜性。随着新一轮课程改革的深入，在数学核心素养视域下，越来越多的教学工作者把目光聚焦在对教材的研究上。

人教A版和北师大版教材是目前国内使用范围最广、影响最大的两版教科书。两版教材的编写各具特色，具有重要的研究价值。函数是高中数学的一条主线，也是初等数学的核心内容。指数函数作为高中数学学习的基础，对高中函数概念的承接与深化，以及后续对数函数的学习有着承上启下的重要作用。

本文以高中“指数函数”为例，研究对象分别为人教A版（数学必修一第二章第一节）和北师大版（数学必修一第三章前三节）教材。从教材的章节结构编排、概念的呈现方式、基本思想与方法的挖掘、习题配置和编写者意图五个维度进行比较研究，旨在以培养数学核心素养为导向，对高中数学教学提出合理化建议。

一、教材章节结构编排的比较

首先，两版教科书的章节标题不同，人教A版为“基本初等函数（I）”，北师大版为“指数函数和对数函数”（幂函数被编入第二章）。

在人教A版教材中，指数函数内容为48～61页，占第二章内容篇幅的38.9%。在北师大版教材中，指数函数相关内容为61～77页和98～103页，占第三章内容篇幅的46%，占三个基本初等函数内容总篇幅的37%（加上第二章幂函数内容）。人教A版教材中，指数函数相关内容所占比例略高于北师大版。北师大版将指数函数内容分为三个小节，而人教版则整合为一个章节。北师大版注重知识的模块化，而人教版注重知识的递进。

虽然两版教材在每个小节中都有“信息技术应用”一栏，但北师大版运用了现代化教学软件，能更准确地观察函数的变化趋势，强调了信息技术的运用。

二、指数函数概念呈现方式的比较

通过分析指数函数概念的呈现方式，我们可以发现人教A版和北师大版教材存在以下异同点。

1.在引入指数函数前，两版教材皆有对指数概念的扩充以及运算性质内容的讲解，但人教A版对根式及相关概念（如次方根、根指数、被开方数等）有较详细的描述，北师大版则没有提及。特别的是，北师大版在该章第一节安排了对正整数指数函数内容的学习。

2.在引入指数函数概念时，人教A版通过之前学习的两个问题，应用探究的方式，科学、合理地引入了指数函数，随后自然地给出了两个特殊的指数函数，而北师大版则直接给出指数函数的概念。

3.两版教材皆在指数函数概念之后给出两个特殊的指数函数，即y=2x和y=（[1/2]）x，为后续学习一般情况下指数函数的图像和性质做准备。在对这两个特殊指数函数图像和性质的研究过程中，人教A版“思考”一栏中提出：“函数y=2x的图像与函数y=（[1/2]）x的图像有什么关系？可否利用y=2x的图像画出y=（[1/2]）x的图像？”着重探究了函数的对称性;而北师大版则着重研究函数的基本性质（如过定点、单调性、定义域、值域等），且把两个特殊函数的对称性编排在对指数函数概念的升华部分，更符合学生的认知发展规律。

4.在研究一般情况下的指数函数图像和性质时，人教A版和北师大版都是通过画出并观察、分析若干底数不同的指数函数图像而归纳出一般情况。不同的是，北师大版将函数y=2x与y=（[1/2]）x的图像关系编排在这一部分，且将结论延伸到一般情况，另外还详细描述了底数对指數函数的影响，而人教A版没有提及。

5.在概念的应用中，两版教材都有用指数函数解决数学问题和生活实际问题，但人教A版中提到：“形如y=kax（k∈R，a>0，且a≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。”强调了对数学建模概念的培养。

三、数学基本思想与方法的挖掘

由于两版教材中指数函数相关内容的篇幅较长，笔者在这一部分主要选取了指数函数的概念及其性质，详见人教A版教材第63～68页和北师大版教材第70～76页，并以此为基础展开深度挖掘。

四、习题配置的比较

人教A版教材总体题量不多，但每个知识点都有涉及。每节内容后都设有练习题，章节结束后配有习题。习题分为A、B两组，难度呈阶梯式分布，由易到难，编排原则符合学生的认知发展规律，具有科学性。A组题多为基础题，难度较低，面对全体学生。B组题难度更高，对学生能力的考查也更深入。教师可以根据不同学生的特点，选择适合学生的习题。

北师大教材总体题量较多，其中例题数量比习题数量少，习题的难度明显高于例题，习题中出现了例题中没有的题型。每一小节后都安排了练习题，每节结束和章节结束后都设有习题，习题安排紧密，对知识点进行反复考查。习题也分为A、B两组，由易到难，安排合理。

为了更详细地看出教材对习题配置的差异，笔者利用了难度模型法，从探究、背景、运算、推理、知识含量五个维度及其相应的等级水平，分析了习题配置的难易程度。其中，探究难度因素分为识记、理解和探究三个层次;背景难度因素分为无实际背景、个人生活背景、公共常识背景和科学背景;运算难度因素分为无运算、简单符号运算和复杂符号运算;推理难度因素分为无推理、简单推理和复杂推理;知识含量难度因素分为单个知识点、两个知识点、三个知识点、四个及以上知识点。通过对难度因素的不同等级进行赋值，笔者求出了加权平均值，绘制出的雷达图如下：

总体上看，在指数函数章节，两版教材都注重对学生运算能力的考查，加权平均值接近2.5，而在背景维度上，两版教材的加权平均值都较低。

人教A版的例题和习题在背景、运算和知识含量上均高于北师大版，而北师大版在探究和推理上明显高于人教A版。说明人教A版更注重对学生知识点的综合掌握及对数学运算能力的培养，题目与学生的生活联系得更加紧密，而北师大版则侧重对学生逻辑推理和探究能力的培养。

五、编写者意图的比较

现行人教A版和北师大版教材均为课标优秀教材，因编写者的侧重点不同而表现出一定的差异性，彰显了不同版本教材的特色。

人教A版侧重于知识呈现过程的完整性。例如，在指数函数概念的引入中，教材利用两个数学问题，引出指数函数的概念，一步步地引导学生理解指数函数的概念，渗透数学的思维与方法。教材更贴近生活，强调了指数函数在实际生活中的运用，有利于学生学习理解，但题量偏少且难度不高。

北师大版侧重培养学生的自主探究能力，有利于提高学生对数学学习的积极性。教材的目录非常详细，复习时方便学生快速查阅。例如，教材详细研究了底数对指数函数图像及其性质的影响，有利于培养学生的数学核心素养。

六、结语

教师、教材、学生是课堂教学的三大基本要素。教学内容应取自教材而不拘泥于教材，教师备课时要把握课标基本理念与教学要求，不断地吸取、借鉴不同教材中的优点，根据学生的实际情况，灵活使用教材，对不同版本的教材进行再加工，合理地组织教学内容，使其更好地促进学生全面、有个性的发展。实现从“教教材”到“用教材教”的根本性转变。

在引入指数函数概念时，北师大版教材可以借鉴人教A版中的引入方式，通过探究，得出指数函数的概念;或将人教A版教材中引入的部分数学问题，改编成一些生活实例，引导学生先将问题生活化，再反向推导数学概念，以帮助培养学生的数学抽象思维（将生活問题抽象成数学问题、对数学概念的抽象概括）。同时，培养学生的数学建模素养，让其感受到数学的应用价值。

两版教材在指数函数章节中涉及数学文化的内容不多，教师在教学设计时，可以适当地增加有关数学文化的内容，这样既可以让数学课堂不至于太枯燥，又能开拓学生的视野，还让学生感受到数学的文化价值和数学学科独特的魅力，发挥数学的德育功能，落实新时代“立德树人”的要求。

[作者简介] 易雪琴（1998—    ），女，江西萍乡人，东华理工大学在读研究生，研究方向为数学基础教育研究;陈火弟（1963—    ），男，江西进贤人，东华理工大学师范学院副教授，研究方向为数学课程与教学论;刘倩（1997—    ），女，江西吉安人，东华理工大学在读研究生，研究方向为数学基础教育研究。