带权高阶椭圆方程正解的退化性与正则性

李冬艳，陆 玲

(1.西安工程大学 理学院，陕西 西安 710048； 2.陆军边海防学院 数学教研室，陕西 西安 710108)

1 引言及主要结果

本文研究如下带权高阶半线性椭圆方程

Δ(|x|θΔu)=|x|lf(u),x∈RN

(1)

正解的性质，其中，Δ为拉普拉斯算子,θ,l∈R，N≥5，函数f:[0,∞)→R连续。令

(2)

显然,θ∈(4-N,N),N+l>0。除非特殊说明,本文所考虑的正解均属于C4(RN{0})∩C0(RN)空间，且

|x|θ∇u∈C0(RN)。

方程(1)起源于如下形式的变分不等式[1]

本文将进一步研究方程(1)正解的性质。 设函数f>0在RN上连续，p>1,且存在常数h，使得

(3)

首先，讨论方程(1)正解的奇异退化性估计，结论如下:

1) 在Ω={x∈RN:0<|x|<ρ}(ρ>0)中，方程(1)的任意正解u∈C4(RN{0})∩C0(RN)且|x|θΔu∈C0(RN)，满足

(4)

且

其中，v(x)=-|x|θΔu(x)。

2) 在Ω={x∈RN:|x|>ρ} (ρ>0)中，方程(1)的任意正解u∈C4(RN{0})∩C0(RN)且|x|θΔu∈C0(RN)，满足

|x|>2ρ

(5)

且

定理1的证明是基于Re-scaling变换及Double引理。 此外，还需要双调和方程的Liouville定理。特别地，当f(u)=up时，方程组(1)变为

Δ(|x|θΔu)=|x|lup,x∈RN

(6)

对于方程(6)也有同样的结论成立，这时将不再需要条件(3)。

令Hθ,r(B)={u∈Hθ(B):u(x)=u(|x|)}。若u∈Hθ,r(B)且满足

v∈Hα(B)

则称u是方程

(7)

2 定理1的证明

则x0+Ry∈Ω。 令

则(U,V)满足方程组

首先证明存在与x0无关常数C>0，使得

(8)

用反证法。假设存在序列xk∈Ω及(Uk,Vk)满足

满足

Mk(zk)>2k(1+dist-1(zk,∂B1))>

2kdist-1(zk,∂B1)

由Double引理[19]可知，存在序列yk∈B1(0),使得

Mk(yk)>Mk(zk),Mk(yk)>2kdist-1(yk,∂B1)

且

(9)

由Mk(yk)>Mk(zk)>2k可知

(10)

令

显然，

(11)

由式(9)知

|z|≤k

(12)

(13)

式中：

(14)

的非负经典解，且由式(11)知

|U(0)|+|V(0)|+|∇U(0)|+|∇V(0)|≤C

因此，

且

证毕。

3 定理2的证明

令v(r)=-rθΔu(r)，由定理2条件知v(r)>0，且(u,v)满足方程组

(15)

(16)

及

(17)

由式(3)知f(s)≤C(1+sp),s≥0，从而

(18)

因此，∀ε>0，有

(19)

联立式(19)及(17)、(18)可知，当r→0时，rN-1u′(r)→0,rN-1v′(r)→0。对式(15)两端同时积分可得

u∈C2(0,R),v∈C2(0,R)

为证明定理2，只需证明

(20)

其中k0、h0为常数。由式(2)和条件u(x)∈Hθ,r(B)，有

(21)

从式(21)易知，r在原点0附近有

(22)

又因为u(r)是单调减的，故

(23)

从而由式(23)及(22)可知,r在原点附近，

且

(24)

同理可证

(25)

(26)

由式(24)、(25)可知，当t→∞时，ω(t)→0,χ(t)→0。并且由条件(3)可得

(27)

注意到当1

故当t→∞时，

(28)

由于当t→∞时，(w1,w2,w3,w4)→(0,0,0,0)，且在点(0,0,0,0)处对应于方程组(28)的齐次线性方程为

(29)

从而方程组(29)所对应的系数矩阵为

(30)

意味着存在常数k0、h0,使得当t→∞时，