集合论公理的选择：两种路径

寇 亮

一、引言

自上个世纪公理化集合论发展起来后，集合论的ZFC系统已经得到了普遍认可。与此同时，关于集合论新公理的讨论也一直不曾停止①诚然，一些数学家认为数学不需要新公理，但这个问题不在本文讨论的范围内。本文要讨论的是，目前集合论新公理讨论中的几种选项与它们各自的理由。。哥德尔在其《什么是康托的连续统假设》一文中提到：“康托的猜想必然或者为真或者为假，从今日已知公理得到的不可判定性仅能表明，这些公理没有包含对这一事实（this reality）的完全描述……集合论公理绝没有构成一个自身封闭的系统……”[1]

为集合论增加新公理这个问题在哥德尔和科恩的研究之后变得更为紧迫：连续统假设（CH）就是ZFC不能判定的一个有意义的数学命题。即，我们可以构造一个模型L，其中连续统假设为真；也可以构造一个模型M[G]，其中连续统假设为假。因此，ZFC不能证明CH，也不能证明CH的否定。

要为ZFC 添加什么样的公理，这是一个不容易的问题。例如，我们是否可以直接把CH 或CH 的否定作为公理呢？如果添加CH 作为公理，理由何在？除此之外，由于哥德尔不完全性定理的限制，任何ZFC 的扩张都存在不可判定的命题，特别地，它们都必然不能证明自身的一致性。受此限制，我们对新公理的探索到哪一步停下？添加新公理的目的又是什么呢？

当代集合论的两大主要分支：大基数和力迫，它们对以上问题的解决给出了两种备选项：大基数公理和力迫公理。

二、两组候选公理

（一）大基数公理

将大基数公理作为候选新公理是一个较为自然的选择，因为最早被发现的大基数——不可达基数——实际上是对第一个无穷ω的模仿。