EQ-代数上的核算子

梁 婕， 王军涛

（1.陕西铁路工程职业技术学院 基础课部，陕西 渭南714000； 2.西安石油大学 理学院，陕西 西安710065）

1 序言

核算子的概念在拓扑学中起着十分重要的作用［1-3］.文献［1］说明了在frame上的frame映射就其本身而论就是完备的Heyting代数上的核算子.而从逻辑角度来看，核算子作为直觉主义命题逻辑的代数配对物，目前已经在多种逻辑代数中被广泛的研究.

1981年，Macnab［4］证明了在Heyting代数上核算子的一些性质；受到Macnab思想的启发，文献［5］介绍了MV-代数上的核算子，文献［6］介绍了BCI-代数上的微分，文献［7］介绍了格上固定点集的微分，文献［8］介绍了EQ-代数上的核算子等等.特别地，2011年，Kondo［9］介绍了有界的交换单位剩余格（CRL），在不满足可分性（x∧y＝x⊙（x→y））的情况下单调的核算子和核算子是不相同的.而EQ-代数是较它们而言更为一般的代数结构.基于此，研究EQ-代数上的核算子是有意义的.本文讨论EQ-代数上的核算子，主要内容如下：

1）给出剩余EQ-代数E上的单调核算子与强核算子的等价刻画.证明在单调核算子f下，E的像f（E）是一个剩余EQ-代数；

2）研究剩余EQ-代数E上的3类特殊的映射，讨论3类特殊的映射与强核算子之间的关系.

2 预备知识

定义2.1［10-11］一个（2，2，2，0）型的代数（E，∧，⊙，～，1）满足以下条件，对任意的a，b，c，d∈E，有：

（E1）（E，∧，1）是一个有着最大元1的∧-半格；

（E2）（E，⊙，1）是一个含幺半群，且对⊙双边保序；

（E3）a～a＝1（自反公理）；

（E4）（（a∧b）～c）⊙（d～a）≤c～（d∧b）（替换公理）；

（E5）（a～b）⊙（c～d）≤（a～c）～（b～d）（同余公理）；

（E6）（a∧b∧c）～a≤（a∧b）～a（单调公理）；

（E7）a⊙b≤a～b（有界公理）；则称（E，∧，⊙，～，1）是一个EQ-代数.

二元运算∧、⊙和～分别被称为交、乘和模糊相等，并且规定对任意的a，b∈E，有

由于（E，≤）是一个偏序集，则a≤b当且仅当a∧b＝a.在本文中，如果EQ-代数对⊙交换，则称它为可交换的EQ-代数.