二次分式函数的n次迭代问题*

魏 小 琴

(重庆师范大学 数学科学学院，重庆 401331)

0 前 言

离散动力系统是对常微分方程解族进行离散化之后得到的系统。因其形式简洁并易于反映问题的本质，从20世纪60年代开始在Smale等著名数学家的倡导下蓬勃发展起来。对函数n次迭代的研究有助于了解离散动力系统轨道的长期行为。具体地说， 函数f(x)的迭代[1]是指对同一函数f(x)的多次复合。f(x)的n次迭代记为

对于函数的迭代，人们比较关心它的n次迭代式。如何求得函数的n次迭代式，就成为人们不断研究的课题。

目前，已有的方法有不动点法[1]、矩阵法[2-3]、共轭相似法[1,4]。根据函数的不同，可以选择更为适合它的方法去求解n次迭代式。文献[1]用不动点法求解一次函数f(x)=ax+b的n次迭代式， 得到

不动点法的原理是通过设置待定系数，利用函数f(x)的不动点计算出待定系数，进而求得函数f(x)的n次迭代式[1]。方法针对求解一次函数的n次迭代式非常适合，当然，不动点法还可以用于二次函数、线性分式函数，但却不是唯一最优的方法，对于线性分式函数：

文献[3]利用矩阵法讨论它的n次迭代。文献[4]则利用矩阵的特征多项式的理论，推广了前人已有的结论，并得到了计算线性分式函数n次迭代式的一般公式。矩阵法的原理是首先定义线性分式函数的系数矩阵，再根据数学归纳知，可以将求解线性分式函数的n次迭代问题转化为计算系数矩阵的n次幂问题[3]。利用此方法，文献[5]用共轭相似法求解二次函数f(x)=ax2+bx+c的n次迭代式， 得到

共轭相似法的原理是通过可逆桥函数h(x)，使函数f与g满足f=h-1∘g∘h，把一个复杂函数转化成一个易求迭代式的较为简单的函数。……