趣味数学

陈新龙

杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，杨辉三角的出现是数学史上一个伟大的成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，形成一个无限对称的数字金字塔，这是一种离散型的数与形的结合（如图1）。

1.算法分析

那么今天就和大家一起探讨一下如何用Scratch和Python绘制出杨辉三角，别看杨辉三角这么复杂，但是只要我们分析出其中的规律自然就可以克服困难（如图2）。

通过观察我们发现杨辉三角的两个腰上的数都是1，如图2所示相加关系用箭头标识，中间位置的数都是它顶上两个数之和。因此杨辉三角的每行首尾数都为1，中间每个数等于它上方两数之和，比如第二行的数为【1，1】，第三行【1，2，1】其中的数字2是第二行的数1+1之和（如图3）。

且每行数字左右对称，由1逐渐变大，第n行的数字有n项，我们还可以总结出一个规律（a+b）nn的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第（n+1）行中的每一项。

2.在Scratch中计算

我们可以利用上一行的数据计算出杨辉三角的下一行数据，因此可以定义两个列表，其中a列表存储上一行的数据，b列表存储a列表各项两两相加的结果，这样就获得了下一行的除首尾两个1以外的数据，将b列表首尾各加1个1之后存入新的a列表获得下一行的全部数据（如图4）。

初始的情況下我们给列表a添加了两个数字【1，1】，代表杨辉三角的第二……