方程x+lnx=0有关的变形及应用

福建省龙岩第一中学 (364000) 林文柱 福建省龙岩市第一中学锦山学校 (364000) 许佳蕾

方程的根因设而不求，可显其表达的丰富，方程的式因本质属性，可显其隐含的规律，方程的解因方法不同，可显其数学的美丽.下面对方程x+lnx=0的形和式作一些探究.

即ln(m+2)=-x(m+1)，由-2-1时，左边大于0，右边小于0，等式不成立.所以m=-1，即x+lnx=0.

例1求证：e-x+xlnx≥x-x2.

解法3：不等式变形得x-1e-x+x+lnx-1≥0，即e-x-lnx+x+lnx-1≥0.设-x-lnx=t，则x+lnx=-t，代入不等式得et-t-1≥0，令h(t)=et-t-1，则h′(t)=et-1.所以h(t)≥h(0)=0.

类型2方程x2ex+lnx=0的根等价x+lnx=0的根

解析1：原方程变形得x2ex=-lnx⟹lnx+x=ln(-lnx)+(-lnx)，令f(x)=x+lnx，则原方程等价f(x)=f(-lnx)，由函数f(x)=x+lnx在(0,+∞)上为单调递增，所以x=-lnx，即x+lnx=0.

类型3方程2x2e2x+lnx=0的根等价2x+lnx=0的根.

例3 (2019福建省质检理科试题21)已知函数f(x)=x(e2x-a).

(1)若y=2x是曲线y=f(x)的切线，求a的值；

(2)若f(x)≥1+x+lnx，求a的取值范围.

推广2 若mn>0，则关于x方程mnx2enx-k+ln(mx)-k=0的根等价方程nx+ln(mx)=k的根，也等价方程(m+n)x-ek-nx+ln(mx)=k的根，也等价方程nek-nx+mln(mx)=mk的根.

例4 已知x0是方程x2ex-2020+lnx-2020=0的一个根，则e2020-x0+lnx0=.

总之，对准求解的目标，把数学表达式作适当的等价变形，让数学的本质属性通过不同的途径展示其发生和发展过程，再归属成一般性的规律，总会有山重水复疑无路，柳暗花明又一村的体会.