科学备考解析几何中与三角形面积相关的问题

牛淑琴

解决解析几何中三角形面积的最值问题一般分为三个步骤：一是求出面积表达式（常用直接求法或分割求法）;二是得到目标函数式后，明确自变量及自变量的限制条件（如利用判别式大于0等）;三是利用配方法、基本不等式法、单调性法等求出面积的最值或取值范围。

题型一：椭圆中有关三角形的面积的最值问题

例1已知椭圆C：

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）如图1，A为椭圆C上一动点（非长轴端点），F，F，分别为椭圆C的左焦点和右焦点，AF，的延长线与椭圆C交于B点，AO的延长线与椭圆C交于D点，连接BD，求△ABD面积的最大值。

分析：（1）由题意求得a，6，c的值，从而确定椭圆C的方程;（2）分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，联立直线与椭圆方程，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理和基本不等式即可确定三角形面积的最大值。

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-2）。

综上可知，△ABD面积的最大值为42。题型二抛物线中有关三角形的面积的最值问题

例2已知抛物线C：x=2py（p》0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作拋物线C的切线l，lz，l与l，交于点M。

（1）求p的值;

（2）若lllz，求△MAB面积的最小值。分析：（1）根据抛物线的性质即可得到p的值。（2）由直线垂直可构造出斜率关系，得到xx=-4，通过联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系求得m;联立两切线方程，可用k表示出点M的坐标，代人点到直线的距离公式，得到关于面积的函数关系式，从而求得最值。

解：（1）由题意知，抛物线的焦点为0，2力），准线方程为=一2P，焦点到准线的距离为2，即p=2。……