“摆球推斜面”中两者脱离位置的研究

骆书院 李 力 王 伟

(重庆市清华中学 重庆 400054)

1 问题缘起

“摆球推斜面”模型如下：如图1所示,在光滑水平面上有一质量为M，倾角为θ0的斜面，长为L的细线悬挂质量为m的光滑小球，细线与斜面平行.推力作用在斜面上使整个装置处于静止状态.撤去推力后，小球推动斜面向左运动，问小球和斜面在什么位置脱离?

图1 摆球推斜面

教学中通常的看法是：小球在竖直面内做圆周运动的同时推动斜面向左运动，当小球摆到最低点时摆球与斜面脱离.

文献[1]对澄清教学中相关错误认识极有教益，但有以下几点不足：第一，未能作彻底的数理解析，虽用两种方法推导，但并未得到最终一致的理论公式，仅从5组赋值计算便草率判断两种方法的结果一致.第二，没有探讨结果与小球初始位置θ0(即斜面的倾角)的关系.第三，在斜面倾角为30°的情况下，仅以5组数据赋值计算形成表格，没有用连续图线完整直观地表示变化趋势[1,2].

2 两种推导方法

方法一：如图2所示，设小球与斜面脱离时速度分别为v1和v2，此时二者间弹力恰为零,小球只受细线拉力T和重力mg,对小球沿细线方向用牛顿定律有

图2 小球受力及运动分析

(1)

因为小球与斜面在垂直斜面方向上加速度相等，脱离瞬间斜面加速度为零，故斜面垂直于斜面方向的加速度也为零，从而小球沿垂直于斜面方向的加速度为零，在此方向上对小球用牛顿定律

mgcosθ0=Tsin(θ-θ0)

(2)

又脱离时二者沿垂直斜面方向的分速度相等

v1cos(θ-θ0)=v2sinθ0

(3)

从初始位置到二……