多面体与球的组合体问题解题思路整理

李晶莹

近几年高考每一年都有对球的组合体问题的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要准确解答这类问题，学生必须具有较强的空间想象能力和准确的计算能力，这对学生的能力要求很高。而摸清并总结出解题的模式和套路，就能帮助学生遇到类似的题目时思路清晰，快速找到解题的突破口，从而达到事半功倍的效果。我们总结如下：

一般解题思路以及常用到的公式：

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解。

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解。

（3）研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱

（4）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R=a;

②若球为正方体的内切球，则2R=a;

③若球与正方体的各棱相切，则2R=a.

（5）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=.

（6）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1

常见题型解题策略：

一、规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1. 球与正方体

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1，设正方体的棱长为a，E，F，H，G为棱的中点，O为……