非线性薛定谔方程的几种差分格式

孙传志， 汪佳玲

(南京信息工程大学 数学与统计学院， 江苏 南京 210044)

1926年，物理学家薛定谔提出薛定谔方程，作为量子力学领域的基本方程，它对物理领域的研究具有深远意义.随着社会的发展进步，单纯线性模型已经不足以描述这个世界的所有现象，学者们将视线逐渐转移到非线性模型的研究.20世纪70年代，在含非线性项的色散方程的研究中，Hasegawa推导出非线性薛定谔(nonlinear Schrödinger equation，NLS)方程，广泛应用于应用数学和量子力学等物理领域，如光脉冲在色散与非线性介质中的传输，原子激光产生的Bose-Einstein凝聚效应，电磁场中超导电子的运动等.

NLS方程的一般形式为iut+uxx+β|u|2u=0.其中，β为实常数；i为虚数单位.NLS方程对分析求解具有一定难度，没有统一和高效的方法，在对非线性方程的各类研究中发现，非线性方程在很多情况下都不具备解析解，只有给出具体的限定条件才能得到确切的结果.关于同一个NLS方程，若给定的初始波函数不同，波函数的随时演化模式也会产生变化，为此，利用数值模拟研究NLS方程.

随着科学技术的创新，非线性薛定谔方程的研究越来越受到国内外学者的重视.张云峰[1]运用算子半群方法证明了NLS方程的解存在唯一性及解的一些性质；孟佳[2]利用有限差分法对具体的NLS方程问题展开数值求解；Borhanifar等[3]研究薛定谔方程近似解的构造，并在实验中加以验证；Ashyralyev等[4]研究含相关系数的高维分数阶薛定谔微分方程混合问题的一阶及二阶精度差分格式，并得到这些差分格式解的稳定性分析；……